Elektrotechnika - to nie takie trudne! (część 3)

Różniczkując powyższe równanie względem czasu otrzymamy równanie różniczkowe drugiego rzędu:

Jego rozwiązanie ma postać:

(przyjmijcie to na wiarę), gdzie parametr

nazywa się pulsacją drgań własnych. Napięcie na kondensatorze:

wyprzedza w fazie prąd o kąt

Jeżeli energia doprowadzona do kondensatora nie zostanie zużyta na pokrycie jakichkolwiek strat, to amplituda drgań prądu (napięcia) pozostaje stała w ciągu dowolnie długiego czasu. Z warunku równości energii pola elektrycznego i magnetycznego, czyli:

wynika stosunek amplitudy napięcia do prądu:

Wielkość Z₀ ma wymiar impedancji i nazywa się impedancją charakterystyczną obwodu rezonansowego LC.

W rozpatrywanym przykładzie drgania elektryczne powstają kosztem energii doprowadzonej do układu w chwili początkowej, po której wszystkie zjawiska zachodzące w układzie są określone tylko jego wewnętrznymi właściwościami. Możliwe są również inne sposoby doprowadzenia energii do układu drgań. W zależności od tych sposobów rozróżnia się następujące, podstawowe rodzaje drgań elektrycznych:

- drgania własne powstają w izolowanym układzie w wyniku doprowadzenia początkowego pojedynczego impulsu dostarczającego energii dla całego przebiegu. Takim pojedynczym impulsem może być włączenie (wyłączenie) siły elektromotorycznej, zamykanie (otwieranie) odcinka sieci, przebicie w iskierniku itd.

- drgania wymuszone powstają pod działaniem zewnętrznej okresowej siły elektromotorycznej. Przebieg drgań zależy w tym przypadku zarówno od charakteru wymuszającej siły elektromotorycznej, jak i właściwości układu

- drgania parametryczne powstają również pod działaniem siły okresowej, ale dostarcza ona energii układowi przez zmianę jakiegokolwiek parametru układu - pojemności, indukcyjności itd.

- drgania samowzbudne istnieją w obwodzie kosztem zewnętrznego źródła energii, poprzez automatyczną regulację dopływu energii do obwodu, przy której straty energii drgań w obwodzie są uzupełniane energią dostarczaną z jej źródła.

Stany nieustalone

Elektrycznymi stanami nieustalonymi (przebiegami przejściowymi) nazywają się zjawiska w układach elektrycznych powstające w wyniku nagłych zewnętrznych oddziaływań na układ lub nagłych zmian wewnątrz układu. Najczęściej zjawiska te towarzyszą przejściu od jednego stanu ustalonego (stan spoczynku lub długotrwały przebieg oscylacyjny) do drugiego stanu ustalonego. Na przykład, przy ładowaniu (przełącznik K w lewym położeniu) i rozładowaniu (przełącznik K w prawym położeniu) kondensatora C prąd i jest największy w chwili początkowej, a potem stopniowo maleje.

Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla ładowania kondensatora, słuszne jest równanie:

a dla rozładowania:

W obu przypadkach po zróżniczkowaniu otrzymujemy to samo równanie różniczkowe:

Jego rozwiązaniem jest wyrażenie (przyjmijcie na wiarę):

Stała czasowa

charakteryzuje szybkość zmniejszania wartości prądu.

Styczna do krzywej poprowadzona w jej punkcie początkowym przecina oś odciętych w punkcie odpowiadającym chwili t. W tej chwili prąd ładowania (rozładowania) staje się mniejszy e=2,71 razy w porównaniu z jego wartością początkową.

Przy dołączeniu cewki indukcyjnej o indukcyjności L do napięcia U₀, prąd cewki wynosi:

W obu przypadkach stała czasowa:

Rozpatrzenie podobnych przykładów stanów nieustalonych pokazuje, że końcowe wartości prądów i napięć są wartościami stacjonarnymi i mogą być obliczone na podstawie równań Kirchhoffa. Przy obliczaniu wartości początkowych stanu nieustalonego należy pamiętać, że przy dowolnych przełączeniach w obwodzie, energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki indukcyjnej, lub polu elektrycznym w kondensatorze, nie może zmienić się natychmiast, gdyż doprowadziłoby to do wydzielenia w cewkach i kondensatorach nieskończenie wielkich mocy, co jest pozbawione sensu fizycznego. Energia pola magnetycznego cewki przejawia się w postaci prądu w cewce, a energia pola elektrycznego w kondensatorze - napięciem na jego okładzinach. Niemożliwość skokowej zmiany energii zgromadzonej w tych elementach prowadzi do dwóch prawideł znajdowania wartości początkowych w gałęziach obwodu:

1. W dowolnej gałęzi zawierającej indukcyjność prąd w chwili przełączenia zachowuje tą wartość, jaka miał przed przełączeniem i dalej zaczyna się zmieniać właśnie od tej wartości
2. W dowolnej gałęzi zawierającej pojemność napięcie (ładunek) na pojemności zachowuje w chwili przełączenia tą wartość, którą miało przed przełączeniem i dalej zaczyna się zmieniać właśnie od tej wartości.

Należy pamiętać, że zmiany wartości napięć na cewce indukcyjnej i prądu płynącego przez kondensator mogą jednak następować skokowo.

Elektryczny obwód drgań

W radiotechnice szeroko wykorzystuje się drgania (własne) powstające podczas rozładowania kondensatora C przez obwód składający się z cewki indukcyjnej L i rezystora (opornika) R.

Napięcie na kondensatorze C wynosi:

Wykorzystując warunki początkowe: u = U₀ oraz i = 0 przy t = 0, można znaleźć współczynniki

oraz

, a także wyrażenia określające prąd w obwodzie i napięcie na pojemności:

Podane wyrażenia są zapisane w postaci dogodnej dla obwodu o małym współczynniku tłumienia

Przy zwiększeniu α, rozładowanie kondensatora staje się aperiodyczne i pojęcie przesunięcia fazy pomiędzy prądem i napięciem traci sens. Otrzymane wyrażenia pokazują, że przy małych współczynnikach tłumienia w obwodzie powstają drgania swobodne, które różnią się od sinusoidalnych tylko tym, że ich amplituda maleje wykładniczo.

Stałą czasową dla takiego stanu nieustalonego charakteryzuje wielkość:

Stosunek rezystancji do impedancji charakterystycznej obwodu przyjęto nazywać tłumieniem obwodu:

Wyrażenie odwrotne

nazywa się dobrocią obwodu elektrycznego. Im dobroć i stała czasowa są większe, tym dłużej drgania w obwodzie zachowują swoją amplitudę. Częstotliwość drgań w obwodzie zależy nie tylko od elementów LC, ale i od rezystancji:

Ponieważ w obwodach radiotechnicznych R<< Z₀, to

Wobec tego, jeżeli rezystancja obwodu w porównaniu z impedancją charakterystyczną jest mała, to częstotliwość drgań swobodnych w obwodzie ze stratami mało różni się od częstotliwości drgań w obwodzie bez strat:

Pole elektromagnetyczne i fale elektromagnetyczne

J.C. Maxwell wysunął hipotezę, że przemienne pole elektryczne wytwarza w otaczającej przestrzeni pole magnetyczne (podobnie jak przemienne pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne). Wytwarzanie przez przemienne pola magnetyczne i elektryczne nowych pól magnetycznych i elektrycznych w sąsiednich obszarach przestrzeni stanowi przyczynę rozchodzenia się tych pól w przestrzeni, tzn. wytworzenia fali elektromagnetycznej. Pozwoliło to na utworzenie jednolitej teorii pola elektromagnetycznego i znalezienie opisu matematycznego fal elektromagnetycznych.

Przypuszczenie Maxwella jest równoznaczne dopuszczeniu w prawie przepływu, oprócz prądu przewodzenia jeszcze jednej przyczyny wywołującej pojawienie się pola magnetycznego - prądu przesunięcia. Na przykład, w przestrzeni pomiędzy okładzinami kondensatora (gdzie nie występuje prąd przewodzenia) można dopuścić istnienie prądu przesunięcia, równego co do wartości prądowi przewodzenia w przewodach łączących okładziny kondensatora ze źródłem prądu:

Natomiast gęstość prądu przesunięcia wynosi:

W ten sposób obwód prądu w obwodzie jest zamknięty: linie prądu w przewodach są przedłużone liniami prądu przesunięcia między okładzinami. Dla powolnych przebiegów elektrycznych (prąd stały, małe częstotliwości) prądy przesunięcia nie ujawniają się. Natomiast dla szybkozmiennych procesów elektrycznych całkowity prąd w danym punkcie przestrzeni należy obliczać jako równy sumie prądu przewodzenia i prądu przesunięcia.

Równania Maxwella

Wprowadzenie prądu przesunięcia jako jednego ze źródeł pola magnetycznego pozwala na sformułowanie układu równań ustalających związek pól elektrycznych i magnetycznych między sobą, a także ich źródłami (ładunkami i prądami). Równania Maxwella można zapisać w postaci całkowej i różniczkowej. Ograniczę się do przedstawienia ich w postaci całkowej. Z całką, jako symbolem operacji matematycznej polegającej na znajdowaniu funkcji, której pochodna będzie identyczna jak funkcja, którą całkujemy - już stykaliście się w poprzednich częściach przewodnika. Graficzną interpretacją całki obliczanej od punktu A do punktu B jest pole zawarte pomiędzy osią X (odciętych), a krzywą wyznaczającą funkcję w przedziale A do B. Omówienie równań Maxwella w postaci różniczkowej wymagałoby wyjaśnienia pojęć rotacji, dywergencji i gradientu - naprawdę, to już byłoby zbyt wiele! A całki może jakoś przełkną najbardziej ambitni i podbudowani wiedzą szkolną. Geniusz Maxwella polegał na zauważeniu, że już istniejące prawa dotyczące zachowania ładunków elektrycznych i pól magnetycznych stanowią dopełniającą się logicznie całość, którą powiązało wprowadzenie pojęcia prądu przesunięcia. Mamy więc:

Prawo przepływu:

Prawo indukcji elektromagnetycznej:

Twierdzenie Gaussa:

Prawo bezźródłowości pola magnetycznego:

Aby zapisać podstawowe właściwości elektryczne ośrodka, konieczne jest dodanie do tych równań liniowych zależności pomiędzy wektorami pola elektromagnetycznego. Jak pamiętamy:

Równania falowe

Rozwiązanie równań Maxwella w większości przypadków sprowadza się do rozwiązania tzw. równań falowych. Niestety, ale prezentacja ich rozwiązania na obecnym poziomie wiedzy znakomitej większości Czytelników (z całym szacunkiem, ale również i inżynierów spoza branży IT) nie ma większego sensu. Kolejne niezrozumiałe abstrakcje i pojęcia oraz kilka linijek tajemniczych symboli. Przecież chodzi o rozumienie tego, co się czyta, a nie o samo czytanie! W grę wchodzi aparat matematyczny z najwyższej półki. Osobiście też miałbym bardzo duże problemy, aby próbować samodzielnie je rozwiązać. Zwłaszcza, że podobne zagadnienia (rozchodzenie się ciepła przez niejednorodne ośrodki) „przerabiałem" prawie 40 lat temu. Różnica polega na tym, że znam terminologię, wiem co przedstawiają symbole, jaki jest ich sens i co otrzymujemy w wyniku. Uważam, że dla Czytelnika o wiele istotniejszą informacją jest fakt, że równania te mają niezerowe rozwiązania i dla tych obszarów przestrzeni, w których j=0 oraz ρ=0, przy określonych warunkach, pole elektromagnetyczne może utracić związek ze swoimi źródłami i istnieć przy całkowitym braku prądów i ładunków. Takie pola magnetyczne nazywają się falami elektromagnetycznymi. Fale te rozchodzą się w przestrzeni ze skończoną prędkością.

Płaskie fale elektromagnetyczne w idealnym dielektryku

W idealnym jednorodnym dielektryku nie występują swobodne ładunki (ρ=0), a parametry elektryczne nie zależą od współrzędnych punktu obserwacji, przy czym σ=0. Dla tego przypadku można znaleźć rozwiązanie równania falowego, które zależy wyłącznie od współrzędnej wzdłuż jednego kierunku (np. 0x) i jest niezmienne w każdej płaszczyźnie y0z, prostopadłej do tego kierunku. Pole elektromagnetyczne odpowiadające temu rozwiązaniu nazywa się falą elektromagnetyczną płaską. Składowe wektorów fali płaskiej można przedstawić w postaci:

nazywa się prędkością rozchodzenia fali (m/s).

Znak minus w tym rozwiązaniu odpowiada fali padającej, rozchodzącej się w kierunku osi 0x, a znak plus, fali rozchodzącej się w kierunku odwrotnym. Te dwie fale rozchodzą się niezależnie od siebie, a pole wypadkowe przedstawia sobą sumę tych fal. Jednakże jeśli nie występują odbicia fal, to nie ma fali odbitej i w wyrażeniach należy pozostawić tylko dolny znak.

Postać funkcji f(t - x/v) zależy od warunków początkowych. Dla fal radiowych największe znaczenie mają funkcje okresowe:

Poglądowa ilustracja rozchodzenia się fali płaskiej, przedstawiona na rysunku powyżej oczywiście zakłada, że składowe E_z i H_y przemieszczają się wzdłuż osi 0x z prędkością v. Płaska fala w idealnym jednorodnym dielektryku stanowi falę poprzeczną (brak w niej składowych pola wzdłuż osi rozchodzenia się fali). Pola elektryczne i magnetyczne fali płaskiej rozchodzą się z tą samą prędkością i w każdym punkcie przestrzeni mają jednakową fazę.

Powierzchnie we wszystkich punktach, których fazy drgań są jednakowe, nazywają się czołem fali. Czoło fali płaskiej stanowi płaszczyzna prostopadła do kierunku jej rozchodzenia. Prędkość v, z którą czoło fali przemieszcza się w przestrzeni, nazywa się prędkością fazową. Określa ona prędkość rozchodzenia się fazy, a nie energii fali elektromagnetycznej. W próżni prędkość fazowa równa jest prędkości światła:

a w idealnym dielektryku:

Odległość przebywana przez czoło fali w ciągu jednego okresu

drgań, nazywa się długością fali:

Długość fali stanowi jej okres przestrzenny, czyli najmniejszą odległość między punktami, w których drgania mają jednakową fazę (dokładniej rzecz biorąc - różniącą się o 2π). Faza drgań w fali bieżącej zależy liniowo od odległości:

nazywa się liczbą falową.

Stosunek amplitud natężeń pól elektrycznego i magnetycznego w fali płaskiej nazywa się impedancją falową ośrodka:

Dla próżni

Przenoszenie energii elektromagnetycznej charakteryzuje wektor Umowa-Poyntinga:

, który określa gęstość i kierunek strumienia energii, tzn. ilość energii przepływającej w jednostce czasu przez powierzchnię jednostkową, prostopadłą do wektora p. Dla fali płaskiej gęstość strumienia energii i wartości skuteczne natężeń są związane zależnością:

Na przykład, fala rozchodząca się w próżni z gęstością strumienia energii 1mW/m² ma wartość skuteczną natężenia pola elektrycznego:

Płaskie fale elektromagnetyczne w ośrodku przewodzącym

W przyrodzie nie występują idealne dielektryki. Dowolne środowisko zawsze ma pewną, choćby minimalną, przewodność. Odpowiedź na pytanie, gdzie należy zakwalifikować dany ośrodek - do dielektryków, półprzewodników lub przewodników, otrzymujemy w zależności od stosunku pomiędzy prądem przewodzenia:

oraz prądem przesunięcia:

Stosunek ten zależy nie tylko od parametrów środowiska, ale i od prędkości zmiany pola elektrycznego w czasie. Na przykład, dla pól zmieniających się w sposób harmoniczny:

środowisko zalicza się do dielektryków, przy:

do przewodników. Znowu musicie mi uwierzyć na słowo, że wszystkie poprzednie wywody dotyczące fal płaskich można rozszerzyć na ośrodki półprzewodzące i przewodzące, stosując pojęcie zespolonej przenikalności elektrycznej

, cokolwiek to znaczy. Pominę skomplikowane przekształcenia i podam jedynie wzory na współczynnik pochłaniania fali:

oraz prędkość rozchodzenia fali

, gdzie:

Wobec tego fala płaska w środowisku przewodzącym również jest falą poprzeczną. Wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego są do siebie wzajemnie prostopadłe i prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Pole elektryczne i magnetyczne rozchodzi się z tą samą prędkością, jednak w dowolnym punkcie pole magnetyczne jest opóźnione w fazie w stosunku do pola elektrycznego o kąt:

Podczas rozchodzenia się fala traci część swojej energii na nagrzewanie ośrodka, tzn. jest pochłaniana. Amplituda fali maleje przy tym wykładniczo wraz z odległością, zgodnie z czynnikiem

.

Impedancja falowa środowiska przewodzącego:

Promieniowanie wibratora elementarnego

Elementarnym wibratorem nazywa się prostoliniowy odcinek przewodu o małej długości w porównaniu z długością fali

, przez który przepływa prąd zmienny:

o amplitudzie niezmiennej na całej długości przewodu. W odróżnieniu od obwodu drgań, w którym pola elektryczne i magnetyczne są rozdzielone, wibrator elementarny stanowi układ otwarty. Wokół niego powstają pola elektryczne i magnetyczne, co umożliwia wytworzenie strumienia energii

, skierowanego od dipola, czyli wypromieniowanie fali elektromagnetycznej.

Z rozwiązania równań Maxwella wynika w tym przypadku, że elementarny wibrator wytwarza falę kulistą, rozchodzącą się we wszystkich kierunkach

od wibratora.

W dużej odległości od wibratora

wektory natężeń pól elektrycznego i magnetycznego są wzajemnie prostopadłe do siebie i do kierunku rozchodzenia. Wektory natężenia pola elektrycznego leżą przy tym w płaszczyznach przechodzących przez oś wibratora, a wektory natężenia pola magnetycznego - w płaszczyznach prostopadłych do osi wibratora. Wartości chwilowe natężeń pól fali w próżni określają zależności:

Wobec tego w fali kulistej promieniowanej przez elementarny wibrator amplituda drgań zmienia się odwrotnie proporcjonalnie do odległości r i zależy od kierunku

(promieniowanie jest maksymalne w kierunkach prostopadłych do osi wibratora i brak go wzdłuż osi wibratora). Informacja ta jest przydatna przy konstruowaniu anten dla nadawczych lub odbiorczych urządzeń radiotechnicznych. Ale to jest już zupełnie inna historia.

Zakończenie

Wreszcie dotarłem do końca zagadnień, które uznałem za najistotniejsze w dziedzinie wiedzy zwanej elektrotechniką. Oczywiście nie jest to wszystko, co można powiedzieć na temat prądu elektrycznego. I zupełnie nie chodzi mi o nieszczęsną metodę symboliczną lub różniczkową postać równań Maxwella. Całkowicie pominąłem olbrzymią gałąź elektrotechniki poświęconą maszynom elektrycznym. Zrobiłem tak, ponieważ jest to wiedza bardzo specjalistyczna, wymagająca stosowania bardzo trudnego aparatu matematycznego. Jedynym wyjątkiem jest transformator, ponieważ nie zawiera elementów ruchomych, ale to też jest urządzenie elektryczne należące do grupy maszyn. Dlatego nie poświęciłem mu uwagi. Omawianie maszyn elektrycznych na poziomie popularno-naukowym nie ma większego sensu. Informacje tego typu znajdują się w podręcznikach fizyki - wszystko sprowadza się do skutków wzajemnego oddziaływania na siebie pól magnetycznych, wytworzonych przez prąd stały lub zmienny.

Olbrzymią dziedziną elektrotechniki są również wszelkiego rodzaju przyrządy pomiarowe, działające w oparciu o efekty wynikające z podstawowych praw oddziaływania na siebie pól elektrycznych i magnetycznych, które poznaliśmy. Oczywiście niezbędną częścią wiedzy poświęconej zagadnieniom pomiarów różnych wielkości elektrycznych są różnorodne układy pomiarowe. Niektóre z nich są bardzo rozbudowane i wyrafinowane. Nie poruszałem również zagadnień związanych z półprzewodnikami i zbudowanymi w oparciu o nie podstawowymi elementami półprzewodnikowymi: tranzystorami, tyrystorami, diakami, triakami, itd. Uznałem, że zagadnienia te należą raczej do dziedziny wiedzy zwanej elektroniką. Można jeszcze długo wymieniać tematy, których nie poruszyłem: linia długa, teoria obwodów, transformata Laplace'a, równania zmiennych stanu i wiele, wiele innych. Są to niewątpliwie ważne zagadnienia, ale nie zaliczyłem ich do wiedzy podstawowej, a właśnie taki jej zakres starałem się przekazać Czytelnikom.

Co jeszcze mogę dodać? Chyba tylko powtórzyć to, co pisałem we wstępie: elektrotechnika jest wiedzą trudną, ale możliwą do opanowania. Trzeba tylko chcieć ją poznać. Nie jest to łatwy proces. W zaprezentowanym opracowaniu przy pomocy zaledwie około 75.000 znaków nie byłem w stanie przekazać wiedzy, którą zdobywałem przez 5 lat w Technikum Energetycznym w Krakowie. Podręcznik elektrotechniki autorstwa Jana Sawickiego, z którego kiedyś się uczyłem, liczył sobie kilkaset stron! I to dość drobnym drukiem! Nie ma innej metody na opanowanie elektrotechniki niż samodzielna praca, której podstawą jest zrozumienie mechanizmu zjawisk, o których czytasz. Dopiero po latach doceniłem, jak wiele mi dały ciągłe i uprzykrzone klasówki z elektrotechniki. Nie sposób też przecenić wiedzy praktycznej zdobytej na warsztatach elektrotechnicznych. Dobrze przemyślana warsztatowa praktyka, doskonale zazębiająca się z mozolnie opanowywaną teorią, stanowiła solidną podstawę, umożliwiającą wykonywania zawodu. Praktycznie z marszu, bez potrzeby szkolenia się i opanowywania elektrotechnicznego abecadła. Napomknę jeszcze, że poza elektrotechniką miałem jeszcze takie przedmioty zawodowe, jak: maszyny elektryczne, sieci energetyczne, miernictwo. Oczywiście, że obecnie używane są inne, o wiele nowocześniejsze silniki, styczniki, przekaźniki, wyłączniki itd. Ale zasady ich stosowania w obwodach elektrycznych pozostały niezmienne. Bardzo duże znaczenie ma też umiejętność posługiwania się niezbędnym aparatem matematycznym. To może być największa trudność podczas nauki elektrotechniki. Jeżeli nie rozumie się czym jest całka, pochodna, różniczka - w pewnym momencie (nie od razu) pojawi się bariera nie do przezwyciężenia. Oczywiście, że można zakończyć swoją edukację na prądzie stałym i prawie Ohma. Lepsze coś niż nic, ale chyba nie o to chodzi? I jeszcze jedna sprawa: po namyśle postanowiłem zrezygnować z zamieszczania zadań do trzeciej części opracowania. Kilka hipotetycznych przykładów na obliczenie takiej lub innej wielkości wynikającej z opisu zagadnień oraz zjawisk związanych z falami elektromagnetycznymi, na pewno nie stanowi klucza do ich zrozumienia. Zwłaszcza jeżeli całość nie opiera się na solidnym zrozumieniu wzajemnych zależności. Oczywiście głównie w aspekcie aparatu matematycznego.

Całość pracowania proszę traktować nie jak podręcznik, ale raczej przewodnik po podstawowych zagadnieniach, które trzeba zgłębić i opanować samodzielnie. Może też stanowić on wygodne kompendium wiedzy dla mocniej wprowadzonych w zagadnienia teorii elektrotechniki. Jak już wspominałem, samo przeczytanie artykułów i nawet rozwiązanie zadań, z nikogo nie uczyni elektrotechnika. Ale będzie to pierwszy dobry krok w tym kierunku. Jeżeli chociaż jeden z Czytelników, po przeczytaniu mojego opracowania, postanowi poznać szczegółowo naszkicowane z grubsza zagadnienia związane z elektrotechniką i tego dokona, uznam że spełniło ono swoje zadanie. Tylko wtedy czas jaki poświęciłem na jego napisanie, nie był czasem straconym. Mam nadzieję, że właśnie tak będzie.