Elektrotechnika - to nie takie trudne! (część 2)

W celu stworzenia interpretacji geometrycznej pola magnetycznego, wprowadzono pojęcie linii natężenia pola magnetycznego. Są to takie linie, w których każdym punkcie wektor natężenia H jest skierowany wzdłuż stycznej do linii. Pokazują to rysunki poniżej.

We wszystkich przypadkach linie natężenia pola magnetycznego są liniami zamkniętymi, otaczającymi prąd wytwarzający pole magnetyczne. Nie mogą one, tak jak linie sił pola elektrycznego, zaczynać się i kończyć na ładunkach, ponieważ ładunki magnetyczne nie istnieją. Z tego powodu cyrkulacja (czyli całka liniowa po krzywej zamkniętej C) jest równa całkowitemu prądowi, który przepływa wewnątrz tej linii, czyli przez powierzchnię S (prawo przepływu).

Ta zależność ustala związek pomiędzy natężeniem pola magnetycznego i prądem wytwarzającym to pole. Na przykład w przypadku natężenia pola wokół prostoliniowego przewodnika przewodzącego prąd (rysunek powyżej) liniami pola magnetycznego są współśrodkowe okręgi, o jednakowej wartości w dowolnym punkcie takiego okręgu:

czyli

Wewnątrz przewodnika prostoliniowego o okrągłym przekroju, linie natężenia pola magnetycznego otaczają tylko część prądu płynącego przez przewodnik:

gdzie a = promień przekroju przewodnika i wobec tego:

Solenoid (czyli cewka o z zwojach) o długości L, dużej w porównaniu z jej średnicą D, charakteryzuje się istnieniem silnego jednorodnego pola wewnątrz cewki i odpowiednio słabego w stosunku do niego, na zewnątrz cewki (rys. powyżej). Przyjmując, że to ostatnie jest równe zero otrzymamy:

czyli

W cewce toroidalnej (rys. powyżej) pole magnetyczne jest jednorodne, a jego linie stanowią okręgi całkowicie leżące wewnątrz cewki:

czyli

Jak obliczyć natężenie pola magnetycznego w bardziej złożonych przypadkach? Dokonuje się tego na podstawie prawa Biota-Savarta i Laplace'a:

Wyrażenie podaje wartość i kierunek elementarnego wektora dH, wytworzonego przez element Ids prądu, w odległości r. Pole H w punkcie M jest równe sumie wektorowej elementarnych pól dH. Symbol „x" oznacza iloczyn wektorowy.

Kierunek wektora natężenia pola magnetycznego można określić według reguły Ampera: obserwator patrzący zgodnie z kierunkiem przepływu prądu elektrycznego widzi linie sił pola magnetycznego skierowane z prawa na lewo.

Zadanie 1. Jaki prąd przepływa w solenoidzie o 100 zwojach i indukcyjności 0,25 H, jeżeli natężenie pola wewnątrz niego wynosi 10 A/m?

Pole magnetyczne w ośrodku materialnym

Materiały, które mają wpływ na pole magnetyczne nazywamy magnetykami. Fizyczną przyczyną tego wpływu są elementarne pola magnetyczne, wytworzone na skutek ruchu elektronów po torach eliptycznych w atomach i molekułach magnetyka. Przy braku zewnętrznego pola magnetycznego, płaszczyzny tych zamkniętych mikro prądów są ułożone chaotycznie i na skutek tego średnie pole magnetyczne jest równe zeru. Zewnętrzne pole magnetyczne H wpływa na zmianę płaszczyzny zamkniętych mikro prądów i na skutek tego średnia wartość H_śr mikro pól magnetycznych staje się różna od zera i dodaje się do zewnętrznego pola magnetycznego. Wobec tego całkowite pole magnetyczne w magnetyku ma natężenie:

H_całk = H + H_śr

Magnetyki dzielimy na trzy grupy: diamagnetyki, paramagnetyki i ferromagnetyki.

• W diamagnetykach wektor H_śr jest skierowany przeciwnie w stosunku do pola zewnętrznego H, co powoduje osłabienie pola.
• W paramagnetykach wektory H i H_śr mają zgodne kierunki, co powoduje wzmocnienie pola.
• W ferromagnetykach (żelazo, kobalt, nikiel oraz ich stopy, a także niektóre stopy miedzi, manganu i aluminium) występuje najsilniejsze zjawisko wzmocnienia pola magnetycznego.

Dla wszystkich materiałów (za wyjątkiem ferromagnetyków) średnie natężenie H_śr mikro pól magnetycznych jest proporcjonalne do natężenia H zewnętrznego pola magnetycznego:

gdzie χ - podatność magnetyczna magnetyka

Stąd łatwo wynika, że

a wielkość

nazywa się względną przenikalnością magnetyczną materiału. Określa ona ile razy pole magnetyczne jest większe w magnetyku niż w próżni.

Tak więc w diamagnetykach μ_r < 1 ( χ<0), w paramagnetykach μ_r > 1 (χ >0), w ferromagnetykach μ_r >> 1.

W układzie jednostek SI w celu scharakteryzowania pola magnetycznego nie posługujemy się wektorem H_całk, lecz wektorem μ₀ razy większym:

B = μ₀*H_całk = μ₀*μ_r*H lub B = μ*H

Wektor B nazywa się indukcją magnetyczną. Wszystkie rodzaje oddziaływania pola magnetycznego, a w szczególności siły wzajemnego oddziaływania pomiędzy polami magnetycznymi (lub polami i prądami) opisuje się za pomocą indukcji B, a nie natężenia pola H. Wielkość μ = μ₀*μ_r nazywa się przenikalnością magnetyczną bezwzględną. Stanowi ona, równorzędnie z konduktywnością σ i bezwzględną przenikalnością elektryczną ε , jeden z ważniejszych parametrów danego materiału. W próżni μ_r = 1 i dlatego μ = μ_0. Wartość μ₀ odpowiada przenikalności magnetycznej próżni. W układzie jednostek SI wynosi ona:

Strumień indukcji magnetycznej

W celu stworzenia interpretacji geometrycznej pola magnetycznego w danym ośrodku, wprowadzono pojęcie linii indukcji magnetycznej. Są to takie linie, w których każdym punkcie wektor indukcji magnetycznej jest skierowany wzdłuż stycznej do linii. Na skutek tego linie indukcji magnetycznej charakteryzują kierunek pola magnetycznego w różnych punktach przestrzeni. W celu stworzenia liczbowej charakterystyki pola w tych punktach podaje się liczbę linii indukcji przechodzących przez jednostkową powierzchnię, prostopadłą do wektora indukcji B. Całkowita liczba linii przenikających przez prostopadłą do nich niedużą powierzchnię S_n określa strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię S:

Strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię krzywoliniową K określa wzór:

Skutkiem tego liczbowa wartość indukcji magnetycznej określa gęstość strumienia indukcji magnetycznej:

Oddziaływanie pola magnetycznego i prądu elektrycznego

Pole magnetyczne B działa na element przewodu ds, przez który przepływa prąd elektryczny I siłą df, którą można określić ze wzoru:

df = I*(ds x B)

Siła ta nazywa się siłą elektrodynamiczną. Takie siły są przyczyną wszystkich zjawisk mechanicznych związanych z polem magnetycznym. Na nich są oparte konstrukcje galwanometrów, woltomierzy, amperomierzy, silników, prądnic, głośników i innych przyrządów lub urządzeń. W analogiczny sposób można określić siłę działającą nie na element prądu, lecz na pojedynczy elektron, poruszający się z prędkością v i obdarzony ładunkiem e:

f₁ = e*(v x B)

Siłę tą nazywamy siłą Lorentza. Zgodnie z nią wzajemne oddziaływanie pola magnetycznego i prądu elektrycznego określa się za pomocą indukcji B, a nie natężenia pola H. Symbol x oznacza iloczyn wektorowy.

Indukcja elektromagnetyczna

Zmiana strumienia indukcji magnetycznej przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą, ograniczoną linią C, powoduje powstanie w obwodzie C siły elektromotorycznej indukcji, która jest proporcjonalna do szybkości zmian strumienia:

Zależność tą nazywamy prawem Faraday'a.

Zmiana strumienia Φ może być spowodowana względnym przemieszczeniem się pola i linii C lub zmianą w czasie wektora B, przecinającego nieruchome przewodniki. Znak minus w matematycznym zapisie prawa Faraday'a ma ważny sens fizyczny. Określa on biegunowość siły elektromotorycznej indukcji. Jeżeli zamknięty obwód C jest przewodnikiem metalicznym, to wytwarza się w nim strumień indukcji powodujący powstanie pola magnetycznego, przeciwdziałającego zmianie strumienia Φ. Czyli indukcja elektromagnetyczna przeciwdziała przyczynie, która ją wywołała. Jest to prawo Lenza. Zwracam uwagę, że zgodnie z prawem Faraday'a cyrkulacja wektora natężenia pola elektrycznego E, nie jest równa zeru. Oznacza to, że w przeciwieństwie do pól ładunków nieruchomych, pole E wytworzone na skutek indukcji elektromagnetycznej nie jest polem potencjalnym, lecz wykazuje własności wirowe. Linie sił takiego pola elektrycznego są zamknięte - otaczają one linie sił indukcji magnetycznej. Z kolei linie magnetyczne otaczają linie pola elektrycznego. Dobrą analogią, obrazującą przebieg linii sił indukcji i magnetycznych, są ogniwa łańcucha.

Indukcja wzajemna

Ważnym przypadkiem szczególnym indukcji elektromagnetycznej jest indukcja wzajemna. Polega to na wytwarzaniu siły elektromotorycznej w jednym przewodniku, w następstwie zmian prądu w drugim. Jeżeli oznaczymy przez F₁ całkowity strumień indukcji magnetycznej wytworzony przez prąd I₁ obwodu 1, i oznaczymy przez Φ_1,2 część tego strumienia przenikającą przez obwód 2, to jest oczywiste że strumień Φ_1,2 jest proporcjonalny do tego prądu, czyli Φ_1,2 = M_1,2 *I₁

Współczynnik proporcjonalności M_1,2 nosi nazwę współczynnika indukcyjności wzajemnej. Liczbowo jest on równy strumieniowi indukcji magnetycznej, który wytworzony jest przez prąd I w jednym obwodzie i przenika przez drugi obwód. Zmiana prądu I₁ powoduje zmianę strumienia F_1,2 i powstanie siły elektromotorycznej indukcji wzajemnej E₂ w drugim obwodzie:

Jeżeli obwód 2 uznamy za obwód podstawowy wytwarzający pole magnetyczne, to przez obwód 1 przenika strumień Φ_2,1 = M_2,1 I₂, którego zmiana powoduje wytworzenie w obwodzie 1 siły elektromotorycznej indukcji wzajemnej:

Można udowodnić, że zawsze M_1,2 = M_2,1 = M. Stanowi to potwierdzenie zasady wzajemności zjawiska indukcji. Wartość współczynnika indukcyjności wzajemnej dwóch obwodów określana jest na podstawie kształtu, rozmiarów i wzajemnego położenia tych obwodów. Jako przykład obliczony zostanie współczynnik M dla dwóch długich cewek, z których jedna znajduje się wewnątrz drugiej (tzn. cewki są silnie sprzężone ze sobą).

Prąd I₁ przepływający w cewce zewnętrznej wytwarza wewnątrz niej pole magnetyczne o indukcji:

gdzie: z₁ - liczba zwojów cewki zewnętrznej, L₁ - jej długość

Strumień przenikający przez jeden zwój cewki wewnętrznej

gdzie S₂ - powierzchnia przekroju poprzecznego cewki wewnętrznej.

Strumień skojarzony, uczestniczący w wytworzeniu siły elektromotorycznej indukcyjności wzajemnej, jest z₂ razy większy (z₂ - liczba zwojów cewki wewnętrznej)

skąd łatwo obliczyć

Zadanie 2. Ile zwojów liczy cewka o indukcyjności 0,01 H, jeżeli przepływający przez nią prąd 1 A, wytwarza, w próżni, wewnątrz niej pole magnetyczne o indukcji B = 0,1 Wb/m²?

Indukcja własna

Indukcja własna polega na powstaniu w obwodzie siły elektromotorycznej indukcji wskutek zmiany prądu w tym obwodzie. Zdolność obwodu powodującą występowanie indukcji własnej charakteryzuje współczynnik indukcji własnej - indukcyjność L - będący współczynnikiem proporcjonalności między prądem I w przewodniku, a wartością strumienia F indukcji magnetycznej wytworzonej przez prąd I.

Φ = L*I

Im większa jest indukcyjność L, tym większa jest siła elektromotoryczna indukcyjności własnej powstająca w obwodzie na skutek zmiany własnego prądu:

Wartość indukcyjności określa się na podstawie kształtu i rozmiarów przewodnika. Indukcyjność jest największa, jeżeli przewodnik występuje pod postacią cewki o długości L i kołowym przekroju poprzecznym S, na której nawinięte jest z zwojów.

Prąd I przepływający w uzwojeniu wytwarza wewnątrz cewki pole magnetyczne o indukcji

Strumień skojarzony uczestniczący w wywołaniu siły elektromotorycznej samoindukcji wynosi:

Stąd już łatwo można wyliczyć indukcyjność:

Z tego wynika, że indukcyjność cewki jest wprost proporcjonalna do kwadratu liczby jej zwojów i powierzchni (czyli średnicy) oraz odwrotnie proporcjonalna do jej długości. Ta prosta zależność ma podstawowe znaczenie przy konstruowaniu różnego rodzaju obwodów zawierających indukcyjność. Wszystkie poznane do tej pory prawa będą nam potrzebne przy wyjaśnianiu pojęcia prądu zmiennego.

Zadanie 3. Jaka jest indukcyjność cewki, jeżeli zmiana wartości prądu od zera do 10 A w ciągu 2 sekund spowodowała pojawienie się siły elektromotorycznej indukcyjności własnej 50 V?

Zmienny prąd elektryczny

Według definicji, prądem zmiennym nazywa się prąd zmieniający w czasie swoją wartość lub kierunek. W technice oraz w zastosowaniach życia codziennego najczęściej mamy do czynienia z prądem będącym sinusoidalną funkcją czasu. Taki prąd nazywa się przemiennym, ale powszechnie utarło się nazywanie go prądem zmiennym i nie mam zamiaru zmieniać tego zwyczaju, aby nie wprowadzać dodatkowego zamętu związanego ze słownictwem. Dla porządku proszę jednak pamiętać, że tam gdzie używam pojęcia prąd zmienny, tak naprawdę mówimy o prądzie przemiennym. Opisuje go równanie:

gdzie:

I_m - amplituda (wartość maksymalna prądu)

T - okres prądu

- faza prądu

- faza początkowa prądu (faza w początkowej chwili czasu t=0)

Wielkość odwrotna do okresu nazywa się częstotliwością f = 1/T , natomiast wielkość

stanowi miarę szybkości zmiany fazy i nazywa się częstotliwością kątową (pulsacją).

Jeżeli w dwóch prądach sinusoidalnych, o takiej samej częstotliwości, fazy początkowe nie są równe, to są to prądy przesunięte fazowo względem siebie. Na rysunku poniżej

prąd i₁ wyprzedza w fazie prąd i₂ o kąt φ = ψ₁ - ψ₂ >0

Wprowadzę teraz istotne pojęcie wartości skutecznej prądu zmiennego. Ponieważ ilość ciepła wydzielonego przez prąd jest proporcjonalna do kwadratu jego wartości, to przyjęto charakteryzować wartość prądu okresowego I za pomocą wzoru:

Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego jest równa takiej wartości prądu stałego, który przepływając przez rezystor jednostkowy wydzieli taką samą ilość ciepła w tym samym czasie. Wartość skuteczna I jest związana z amplitudą I_m zależnością:

Zaznaczam, że podane podstawowe definicje są słuszne nie tylko dla prądów sinusoidalnych, ale również innych wielkości fizycznych, zmieniających się sinusoidalnie w czasie (siły elektromotoryczne, napięcia, natężenia pól itd.)

Napomknę jeszcze, że wielkości fizyczne sinusoidalnie zmienne w czasie można opisywać tzw. metodą symboliczną, opartą o liczby zespolone. Metoda ta ma jedną podstawowa zaletę: zamienia działania na wektorach na działania algebraiczne. Ale szczegóły, tym razem, sobie darujemy. Jako ciekawostkę podam jedynie, że posługuje się ona, między innymi, tworem, którego poprawna definicja brzmi: j² = -1. To nie błąd! „Coś" do kwadratu równa się minus 1! Proszę zwrócić uwagę, że pozornie identyczne wyrażenie:

jest błędne, ponieważ przed pierwiastkiem równie dobrze można postawić plus, jak i minus! Dlatego też nie chcę nadużywać wytrzymałości Czytelników i zmuszać ich do zgłębiania kolejnych porcji abrakadabry, która nie jest niezbędna do zrozumienia pozostałych pojęć. Niestety, skutkiem tego ułatwienia będą problemy przy wyjaśnianiu praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego.

Obwód elektryczny prądu zmiennego

Prąd zmienny w porównaniu z prądem stałym, jest o wiele bardziej skomplikowanym zjawiskiem, a jego matematyczny opis jest o wiele trudniejszy. W obwodach prądu zmiennego oprócz zewnętrznych sił elektromotorycznych występują siły elektromotoryczne indukcji własnej i indukcji wzajemnej, wywołane zmiennymi polami magnetycznymi, które otaczają przewodniki obwodu. Energia prądu elektrycznego przechodzi w przewodnikach i przestrzeni otaczającej przewodniki w energię cieplną, mechaniczną, a także energię promieniowania. Obszary strat energii i obszary, w których występują pola magnetyczne i elektryczne, z reguły wzajemnie się nakładają. W tych przypadkach parametry obwodu prądu zmiennego rozłożone są wzdłuż długości przewodników (oporność, indukcyjność, pojemność) równomiernie lub nierównomiernie. Obwód taki nazywa się obwodem o stałych rozłożonych.

Jednakże w wielu przypadkach, a z reguły przy stosunkowo małych częstotliwościach prądu zmiennego, można bez szkody dla praktyki zaniechać rozpatrywania tak złożonego obrazu i uważać, że pola elektryczne, pola magnetyczne i obszary strat energii są zlokalizowane we właściwych elementach obwodu: kondensatorach, cewkach indukcyjnych i opornikach, a te elementy są połączone ze sobą przewodami o zerowej oporności, wokół których nie powstają pola elektryczne i magnetyczne. Taki wyidealizowany obwód nazywa się obwodem o stałych skupionych. Jeżeli przy tym parametry elementów obwodu nie zależą od prądu i napięcia, to taki obwód nazywa się liniowy (linearny).

Własności elementów obwodów elektrycznych prądu przemiennego określa się za pomocą równań wiążących prąd płynący przez element z napięciem na jego zaciskach. Jeżeli wybierzemy dodatnie kierunki prądów i napięć (sił elektromotorycznych) jako zgodne,

to równania mają postać:

- dla opornika:

- dla indukcyjności:

- dla kondensatora:

Rozpatrzymy obwód elektryczny składający się z szeregowo połączonej pojemności C, indukcyjności L i oporności R, przez który przepływa prąd i = I_msin(ωt + Ψ).

Napięcia na elementach obwodu wynoszą:

Napięcie na oporności jest więc w fazie z prądem, napięcie na indukcyjności wyprzedza prąd o kąt

, a napięcie na pojemności jest opóźnione względem prądu o kąt

. W dowolnej chwili suma napięć na elementach obwodu jest równa doprowadzonej sile elektromotorycznej: e = u_R + u_L + u_C. Wynika z tego prawo Ohma dla obwodu prądu zmiennego:

Iloraz skutecznego napięcia U (siły elektromotorycznej E) i skutecznego prądu I nazywa się impedancją Z.

której modułem |Z|, jest iloraz:

Jeżeli obliczymy różnicę faz napięcia i prądu φ = ψ_u - ψ_i , to rezystancję R wyraża zależność: R = |Z|*cosφ, natomiast zależność

X = |Z|*sinφ , wyraża reaktancję.

Zachodzą przy tym zależności:

oraz

Dla rozpatrywanego wcześniej obwodu elektrycznego prądu zmiennego reaktancja wypadkowa:

może mieć dowolny znak, podczas gdy reaktancja indukcyjna:

oraz pojemnościowa:

są zawsze wielkościami dodatnimi.

Zadanie 4. Oblicz impedancję przedstawionego powyżej obwodu elektrycznego prądu zmiennego wiedząc, że: f= 50 Hz, L= 10 H, C= 10 μF, R=100 Ω

Własności obwodów przy wielkich częstotliwościach

Ten sam obwód elektryczny może być przedstawiony za pomocą różnych schematów w zależności od metody analizy sieci i od zakresu częstotliwości pracy. Przy małych częstotliwościach cewki i kondensatory mogą być przedstawione na schemacie tylko jako indukcyjności L i pojemności C. Natomiast przy wielkich częstotliwościach niekiedy nie można pominąć przewodności dielektryka kondensatora, rezystancji przewodów cewki, pojemności uzwojenia cewki itd. Podstawą dla takiego skomplikowania schematu jest stopień zgodności wyników teoretycznego i praktycznego badania obwodu.

Ważną właściwością przewodników w obwodach prądu zmiennego, występującą przy pracy na wielkich częstotliwościach, jest pojawienie się zjawiska naskórkowości, które polega na wzroście rezystancji przewodnika z powodu wyparcia prądu na jego powierzchnię. Na rysunku poniżej widać

wydzieloną „nitkę" prądu. Im bliżej środka przewodu znajduje się „nitka", tym związana ona jest z większą liczbą linii sił pola magnetycznego. Większa jest wobec tego samoindukcja przez nią przenikająca i przeciwdziałająca zmianom prądu.

W wyniku tego gęstość prądu jest nierównomierna wzdłuż przekroju poprzecznego. Jest ona większa bliżej powierzchni i mniejsza, im bliżej osi przewodnika. Nierównomierność gęstości prądu wzrasta ze wzrostem częstotliwości, średnicy przewodu, przenikalności i przewodności elektrycznej materiału przewodnika. W przewodnikach o dużej przewodności, przy wielkich częstotliwościach, cały prąd koncentruje się w cienkiej warstwie na powierzchni przewodnika, przekrój poprzeczny przewodnika jest słabo wykorzystany i wzrastają straty cieplne. Dlatego rezystancja przewodnika dla prądu stałego jest mniejsza od rezystancji dla prądu zmiennego. Zjawisko naskórkowości zaczyna wywierać niewielki, ale już zauważalny wpływ na przepływ prądu przy częstotliwościach rzędu kilku kHz. Wzory umożliwiające obliczenie oporności przewodnika pracującego w obwodzie prądu zmiennego, będącej funkcją jego średnicy, rezystywności i częstotliwości oczywiście istnieją, ale bez wielkiej szkody dla Czytelników daruję sobie ich publikowanie. Zwrócę jedynie uwagę na praktyczny aspekt zjawiska - cewki w odbiornikach i nadajnikach wielkiej częstotliwości nawijane są srebrzonym drutem miedzianym, ponieważ srebro ma najmniejszą rezystywność ze wszystkich przewodników.

Straty w dielektryku kondensatorów występujące na wielkich częstotliwościach powodują pojawienie się składowej prądu I_a, która jest zgodna w fazie z napięciem U_C doprowadzonym do kondensatora.

Kondensator ze stratami w dielektryku przyjęto charakteryzować pojemnością C i kątem stratności δ. Znając te parametry, kondensator ze stratami można przedstawić za pomocą jednego ze schematów zastępczych z poniższego rysunku.

Pojemności ma schematach są praktycznie jednakowe, czyli C_a = C_b = C, a rezystancje wynoszą:

Stosunek

nazywa się współczynnikiem strat kondensatora, natomiast wielkość odwrotna

nazywa się dobrocią kondensatora.

Straty cieplne w przewodach i rdzeniu cewki indukcyjnej uwzględniamy za pomocą rezystancji R włączonej na schemacie zastępczym szeregowo z cewką. Rezystancja ta rośnie wraz ze wzrostem częstotliwości. Na skutek istnienia zależności rezystancji cewki od częstotliwości dobroć cewki

nie jest proporcjonalna do częstotliwości i w pewnym zakresie częstotliwości może być stała. Podobnie jak przy zjawisku naskórkowości nie publikuję wzorów umożliwiające stosowne obliczenia.

Zwrócę natomiast uwagę, że przy wielkich częstotliwościach występują pojemności miedzyzwojowe cewek indukcyjnych. Pojawiają się wtedy miedzyzwojowe prądy pojemnościowe i prądy w zwojach cewki stają się niejednakowe. Przy bardzo wielkich częstotliwościach, na skutek wpływu pojemności międzyzwojowych zastępcza reaktancja cewki może nawet stać się pojemnościowa.

Zadanie 5. Oblicz współczynnik strat kondensatora, którego dobroć równa się 200.

Prawa Kirchhoffa dla obwodów prądu zmiennego

Konsekwencją pominięcia wytłumaczenia pojęcia symbolicznego sposobu opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych jest problem z przedstawieniem Czytelnikom praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego. Miałem do wyboru: wykład (dla zupełnie nieprzygotowanego na to Czytelnika) z wyższej matematyki i wprowadzenie kolejnych niełatwych abstrakcji jak liczby urojone, liczby zespolone, liczby sprzężone, wskazy, wykresy wskazowe itd., lub złożenie oświadczenia, że prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego również obowiązują ;-). Co niniejszym czynię! Wyjaśnię jedynie, że zaletą metody symbolicznej (niezależnie od tego na czym ona polega) jest praktyczna możliwość zamiany wszelkich działań geometrycznych na wektorach (metoda graficzna) na działania algebraiczne i dzięki temu sprowadzenia wszystkich zależności i praw dla prądu zmiennego do zależności i praw prądu stałego. Można to oczywiście robić jedynie dla stanu ustalonego i dla obwodu liniowego o sinusoidalnych siłach elektromotorycznych tej samej częstotliwości. Dla takiego obwodu suma algebraiczna wartości chwilowych prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru, a suma algebraiczna wartości chwilowych napięć na wszystkich opornościach (łącznie z opornościami wewnętrznymi źródeł) dowolnego zamkniętego obwodu jest równa sumie algebraicznej wartości chwilowych sił elektromotorycznych wszystkich źródeł prądu istniejących w tym oczku. I właśnie tutaj zaczyna się problem, bo prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego przedstawiane są metodą symboliczną. Po zamianie sumowania wartości chwilowych wielkości sinusoidalnych sumowaniem odwzorowujących je amplitud zespolonych (cokolwiek to znaczy, ale jest nierozerwalnie związane z metodą symboliczną), prawa Kirchhoffa dla prądu zmiennego można przedstawić następująco:

I. Suma amplitud zespolonych prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zero:

II. Suma amplitud zespolonych sił elektromotorycznych źródeł prądu w dowolnym zamkniętym oczku obwodu jest równa sumie amplitud zespolonych napięć na wszystkich impedancjach tego oczka:

Czujących się na siłach zrozumieć, lub chcących sobie przypomnieć metodę symboliczną opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych, odsyłam do literatury lub Wikipedii. Mówiąc szczerze nigdzie nie spotkałem wyjaśnienia praw Kirchhoffa dla prądu zmiennego zapisanych w innej postaci. Oczywiście nie byłem w stanie przeglądnąć całej dostępnej literatury. Jeżeli ktoś znajdzie takie wyjaśnienie - jego szczęście. Proszę się nim podzielić z Czytelnikami w komentarzu do artykułu!

Moc prądu zmiennego

Przy rozpatrywaniu procesów energetycznych w obwodach prądu zmiennego wygodne jest posługiwanie się różnymi rodzajami mocy. Moc chwilowa jest równa iloczynowi chwilowych wartości prądu i napięcia na części obwodu:

gdzie: U i I są skutecznymi wartościami napięcia i prądu, natomiast φ i ω odpowiednio różnicą faz pomiędzy prądem i napięciem oraz częstotliwością kątową (pulsacją).

Moc czynna charakteryzuje straty energii prądu w czasie 1 s w elementach czynnych obwodu (na ogrzewanie, promieniowanie lub wykonanie pracy mechanicznej). Jest ona mierzona w watach i określa się ją wartością średnią mocy chwilowej za okres:

Moc bierna jest związana z reaktancjami, które okresowo gromadzą energię, a potem oddają ją do źródła, ale same nie pochłaniają energii. Jednostką mocy biernej jest war (woltoamper mocy reaktancyjnej - biernej). Moc bierną można określić ze wzoru:

Moc bierna jest dodatnia przy prądzie opóźnionym względem napięcia (φ>0), a ujemna przy prądzie wyprzedzającym napięcie (φ<0).

Jeżeli przez indukcyjność L płynie prąd o wartości skutecznej I, to:

Q = ω*L*I²

Jeżeli do kondensatora C doprowadzono napięcie o wartości skutecznej U, to:

Q = - ω*C*U²

Moc pozorna jest określona iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu w odcinku przewodu:

S = I*U

Jednostka mocy pozornej nazywa się VA (woltamper). Stosunek mocy czynnej do mocy pozornej P/S = cosφ nazywa się współczynnikiem mocy.

Moce czynna, bierna i pozorna są związane ze sobą następującymi zależnościami:

Konsekwentnie darujemy sobie określenia powyższych mocy metodą symboliczną.

Zadanie 6. Oblicz kąt przesunięcia fazowego obwodu, w którym moc czynna wynosi 1 kW, a moc bierna 0,2kVar.

Tak oto dotarliśmy do końca drugiej, chyba najtrudniejszej do zrozumienia części przewodnika po Elektrotechnice. Nie wiem jak zostanie ona przyjęta przez Czytelników. Pisząc ją miałem do rozstrzygnięcia poważny dylemat: tak naprawdę niczego nie wyjaśniająca prostota i spłycenie zagadnień, czy solidne potraktowanie tematu. Problem w tym, że to drugie jest możliwe wyłącznie w oparciu o pojęcia z wyższej matematyki, o której prawdopodobnie większość czytających nie ma bladego pojęcia. Musiałem jednak być konsekwentny. W pierwszej części używałem elementów wyższej matematyki, więc musiałem to zrobić również w drugiej, chociaż i tak „odpuściłem" metodę symboliczną opisu wielkości sinusoidalnie zmiennych. Mam jednak nadzieję, że interesujący się elektrotechniką przynajmniej coś słyszeli o całkach, różniczkach i pochodnych funkcji. Jak pisałem we wstępie: nauczyć się elektrotechniki można wyłącznie samemu! Wymaga to solidnych podstaw matematycznych, chęci i ciężkiej pracy. Natomiast, że nie jest to łatwe zadanie, to już zupełnie inne zagadnienie.

W trzeciej (i ostatniej) części przewodnika zajmiemy się drganiami elektrycznymi, stanami nieustalonymi, polem elektromagnetycznym, falami elektromagnetycznymi oraz równaniami Maxwella.

Rozwiązania zadań

Zadania nie były trudne do rozwiązania, wręcz łatwe. W odróżnieniu od fragmentu wiadomości z elektrotechniki zawartej w tej części przewodnika. Mam nadzieję, że wszyscy, którzy dotarli do tego miejsca stwierdzą, że ich rozwiązania są identyczne jak te przedstawione poniżej.

Zadanie 1.

Zadanie 2.

Zadanie 3.

Zadanie 4.

Zadanie 5.

Zadanie 6.