Elektrotechnika - to nie takie trudne! (część 3)

Drgania elektryczne

Drganiami elektrycznymi nazywamy powtarzające się wielokrotnie zmiany napięć i prądów w przewodnikach lub natężeń pól elektrycznego i magnetycznego w przestrzeni, w pobliżu tych przewodników. Takie drgania mogą wystąpić jeżeli naładujemy kondensator C do napięcia U₀, a następnie połączymy go z cewką indukcyjną L.

Układ rozładowania kondensatora przez cewkę indukcyjną

Powstający w obwodzie LC prąd rozładowania przepływając przez cewkę wytwarza pole magnetyczne, które powoduje wzrost prądu aż do chwili gdy osiągnie on wartość maksymalną. Cała energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora C przechodzi (z uwzględnieniem strat w opornościach czynnych przewodników) w energię pola magnetycznego cewki L. Pomimo tego, że kondensator C całkowicie się rozładował i napięcie na jego okładzinach spadło do zera, prąd w obwodzie LC nie zaniknie. Będzie on podtrzymany przez siłę elektromotoryczną samoindukcji i kondensator C zacznie się ładować w przeciwnym kierunku. W końcu pierwszego półokresu kondensator jest już naładowany (uwzględniając straty) i energia pola magnetycznego cewki L przechodzi w energię pola elektrycznego kondensatora C. Od tej chwili prąd w obwodzie LC zmienia znak i proces powtarza się w kierunku przeciwnym. W ten sposób kończy się pełny okres drgającego rozładowania kondensatora C przez cewkę indukcyjną L. Układ wraca do stanu początkowego i rozpoczyna się następny okres drgań. Jeżeli założymy, że drgania odbywają się bez strat energii, to wykorzystując prawo Kirchhoffa do obwodu rozładowania otrzymamy:

Różniczkując powyższe równanie względem czasu otrzymamy równanie różniczkowe drugiego rzędu:

Jego rozwiązanie ma postać:

(przyjmijcie to na wiarę), gdzie parametr

nazywa się pulsacją drgań własnych. Napięcie na kondensatorze:

wyprzedza w fazie prąd o kąt

Jeżeli energia doprowadzona do kondensatora nie zostanie zużyta na pokrycie jakichkolwiek strat, to amplituda drgań prądu (napięcia) pozostaje stała w ciągu dowolnie długiego czasu. Z warunku równości energii pola elektrycznego i magnetycznego, czyli:

wynika stosunek amplitudy napięcia do prądu:

Wielkość Z₀ ma wymiar impedancji i nazywa się impedancją charakterystyczną obwodu rezonansowego LC.

W rozpatrywanym przykładzie drgania elektryczne powstają kosztem energii doprowadzonej do układu w chwili początkowej, po której wszystkie zjawiska zachodzące w układzie są określone tylko jego wewnętrznymi właściwościami. Możliwe są również inne sposoby doprowadzenia energii do układu drgań. W zależności od tych sposobów rozróżnia się następujące, podstawowe rodzaje drgań elektrycznych:

- drgania własne powstają w izolowanym układzie w wyniku doprowadzenia początkowego pojedynczego impulsu dostarczającego energii dla całego przebiegu. Takim pojedynczym impulsem może być włączenie (wyłączenie) siły elektromotorycznej, zamykanie (otwieranie) odcinka sieci, przebicie w iskierniku itd.

- drgania wymuszone powstają pod działaniem zewnętrznej okresowej siły elektromotorycznej. Przebieg drgań zależy w tym przypadku zarówno od charakteru wymuszającej siły elektromotorycznej, jak i właściwości układu

- drgania parametryczne powstają również pod działaniem siły okresowej, ale dostarcza ona energii układowi przez zmianę jakiegokolwiek parametru układu - pojemności, indukcyjności itd.

- drgania samowzbudne istnieją w obwodzie kosztem zewnętrznego źródła energii, poprzez automatyczną regulację dopływu energii do obwodu, przy której straty energii drgań w obwodzie są uzupełniane energią dostarczaną z jej źródła.

Stany nieustalone

Elektrycznymi stanami nieustalonymi (przebiegami przejściowymi) nazywają się zjawiska w układach elektrycznych powstające w wyniku nagłych zewnętrznych oddziaływań na układ lub nagłych zmian wewnątrz układu. Najczęściej zjawiska te towarzyszą przejściu od jednego stanu ustalonego (stan spoczynku lub długotrwały przebieg oscylacyjny) do drugiego stanu ustalonego. Na przykład, przy ładowaniu (przełącznik K w lewym położeniu) i rozładowaniu (przełącznik K w prawym położeniu) kondensatora C prąd i jest największy w chwili początkowej, a potem stopniowo maleje.

Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla ładowania kondensatora, słuszne jest równanie:

(przy t=0, u=0)

a dla rozładowania:

(przy t=0, u=0)

W obu przypadkach po zróżniczkowaniu otrzymujemy to samo równanie różniczkowe:

Jego rozwiązaniem jest wyrażenie (przyjmijcie na wiarę):

Stała czasowa charakteryzuje szybkość zmniejszania wartości prądu.

Prąd ładowania (rozładowania) kondensatora

Styczna do krzywej poprowadzona w jej punkcie początkowym przecina oś odciętych w punkcie odpowiadającym chwili t. W tej chwili prąd ładowania (rozładowania) staje się mniejszy e=2,71 razy w porównaniu z jego wartością początkową.

Przy dołączeniu cewki indukcyjnej o indukcyjności L do napięcia U₀, prąd cewki wynosi:

Prąd w cewce przy jej dołączeniu (a) i odłączeniu (b)

Rozpatrzenie podobnych przykładów stanów nieustalonych pokazuje, że końcowe wartości prądów i napięć są wartościami stacjonarnymi i mogą być obliczone na podstawie równań Kirchhoffa. Przy obliczaniu wartości początkowych stanu nieustalonego należy pamiętać, że przy dowolnych przełączeniach w obwodzie, energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki indukcyjnej, lub polu elektrycznym w kondensatorze, nie może zmienić się natychmiast, gdyż doprowadziłoby to do wydzielenia w cewkach i kondensatorach nieskończenie wielkich mocy, co jest pozbawione sensu fizycznego. Energia pola magnetycznego cewki przejawia się w postaci prądu w cewce, a energia pola elektrycznego w kondensatorze - napięciem na jego okładzinach. Niemożliwość skokowej zmiany energii zgromadzonej w tych elementach prowadzi do dwóch prawideł znajdowania wartości początkowych w gałęziach obwodu:

1. W dowolnej gałęzi zawierającej indukcyjność prąd w chwili przełączenia zachowuje tą wartość, jaka miał przed przełączeniem i dalej zaczyna się zmieniać właśnie od tej wartości
2. W dowolnej gałęzi zawierającej pojemność napięcie (ładunek) na pojemności zachowuje w chwili przełączenia tą wartość, którą miało przed przełączeniem i dalej zaczyna się zmieniać właśnie od tej wartości.

Należy pamiętać, że zmiany wartości napięć na cewce indukcyjnej i prądu płynącego przez kondensator mogą jednak następować skokowo.