Elektrotechnika - to nie takie trudne! (część 1)

Równania Kirchhoffa

Poznaliśmy już najprostszy obwód elektryczny - oczko.

Obwód rozgałęziony składa się z kilku zamkniętych oczek, które zaznaczone są jako I, II i III. Każdy punkt obwodu, w którym schodzą się co najmniej trzy jego gałęzie nazywa się węzłem. Obliczenie wartości prądów płynących w gałęziach, przy znanych rezystancjach tych gałęzi i siłach elektromotorycznych źródeł prądu, może być dokonane przy wykorzystaniu równań Kirchhoffa. Pierwsze równanie Kirchhoffa odnosi się do węzłów obwodu elektrycznego. Prądy płynące do węzła będziemy traktować jako dodatnie, a prądy skierowane od węzła jako ujemne. Ponieważ ładunek elektryczny nie ma możliwości zgromadzenia się w węźle, to suma algebraiczna prądów w węźle jest równa zeru. Opisuje to równanie:

Drugie równanie Kirchhoffa odnosi się do zamkniętych oczek, które można wydzielić w obwodzie rozgałęzionym. Stosując do tych oczek prawo Ohma łatwo da się zauważyć, że w dowolnym oczku suma sił elektromotorycznych jest równa iloczynowi prądów przez rezystancje odpowiednich elementów oczka. Innymi słowy: jest równa sumie spadków napięć na rezystancjach oczka, łącznie z rezystancjami wewnętrznymi źródeł prądu. Opisuje to równanie:

W podanym równaniu prądy i siły elektromotoryczne traktuje się jako dodatnie, jeżeli ich kierunek jest zgodny z wybranym kierunkiem poruszania się w oczku i ujemne, jeżeli są przeciwne. Zostanie to jeszcze dokładnie wytłumaczone.

Przy zapisywaniu równań Kirchhoffa należy uważać, aby liczba równań była równa liczbie niewiadomych wielkości i aby jedne z równań nie wynikały z drugich. Dlatego oczka wybiera się tak, aby wchodziły do nich wszystkie gałęzie układu, ale do każdego z oczek powinna wchodzić jak najmniejsza liczba gałęzi. W bardziej skomplikowanych przypadkach może się okazać, że przyjęliśmy błędny kierunek przepływu prądu w którejś gałęzi. Nic nie szkodzi. Otrzymamy wtedy wartość ujemną, co pozwoli na bezproblemową korektę. Natomiast istotne jest, że wartość bezwzględna nie ulegnie zmianie. Zanim wspólnie rozwiążemy przykład na praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa niezbędne jest wyjaśnienie dotyczące sposobów łączenia rezystancji. Podobnie jak kondensatory, rezystancje (zazwyczaj zwane oporami lub opornikami) można łączyć na dwa podstawowe sposoby: równolegle i szeregowo. Łączenie mieszane jest kombinacją tych dwóch sposobów. Wzory na wypadkową wartość oporności właściwie są identyczne jak dla kondensatorów, z tą różnicą że przy połączeniu szeregowym oporników wartość wypadkowa jest ich sumą:

R_w = R₁ + R₂ + ... + R_n

Natomiast przy połączeniu równoległym oporników wartość wypadkowa wynosi:

1/R_w = 1/R₁ + 1/R₂ + ... + 1/R_n

Zadanie 3: Oblicz wypadkową oporność przedstawionego poniżej obwodu oraz prąd pobierany z akumulatora, którego oporność wewnętrzną można pominąć.

Teraz rozwiążemy metodą „łopatologiczną" przykład oparty na wcześniej podanym obwodzie rozgałęzionym. Należy obliczyć prądy płynące w gałęziach obwodu, wiedząc że:

E₁= 12 V i r_w1=0,1 Ω, E₂= 9 V i r_w2=0,2 Ω oraz R₁ = 10 Ω i R₂ = 20 Ω

Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy stosować dwie „żelazne" zasady:

1. Podczas sumowania w oczku napięć na źródłach prądu wartość tego napięcia bierzemy jako dodatnią, jeśli znak biegunów zmienia się z minusa (-) na plus (+). W przeciwnym wypadku wartość napięcia na ogniwie traktujemy jako ujemną.
2. Podczas sumowania napięć na opornikach, wartość napięcia na oporze bierzemy jako dodatnią, jeśli poruszamy się przeciwnie do kierunku prądu. W przeciwnym wypadku (gdy opornik przebywamy zgodnie ze zwrotem prądu), spadek napięcia liczymy jako ujemny. Reguła ta stosuje się także do spadków napięć na oporach wewnętrznych ogniw.

Rozwiązanie:

W obwodzie wyodrębniamy 2 oczka: górne - zawierające E₁, R₂ i E₂ oraz dolne - zawierające E_2, R₂ i R₁. Przyjmujemy kierunek poruszania się w oczkach zgodny z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z pkt. 1 i 2 jw., dla górnego oczka zapisujemy:

E₁ - I₁ ∙ r_w1 - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = 0

a dla dolnego:

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - I₃ ∙ R₁ = 0

Zapisujemy też równania dla węzłów A i B:

A) I₃ + I₂ - I₁ = 0

B) I₁ - I₂ - I₃ = 0

Jak widać równania dla obu węzłów są identyczne, więc użyjemy tylko jednego z nich, przekształcając je do postaci I₃ = I₁ - I₂. Po podstawieniu tej zależności do równania dla dolnego oczka otrzymujemy 2 równania z 2 niewiadomymi:

E₁ - I₁ ∙ r_w1 - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = 0

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - (I₁ - I₂) ∙ R₁ = 0

Podstawiamy:

E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = I₁ ∙ r_w1 i dalej I₁ = (E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2)/ r_w1 i dalej:

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - [(E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2)/ r_w1 - I₂]*R₁ = 0 i po przekształceniach oraz wstawieniu danych otrzymujemy: I₁=~ 1,3286 A, I₂=~0,1419 A, I₃=~1,1867 A

Zadanie 4: Proszę sprawdzić poprawność powyższych obliczeń, przez napisanie i rozwiązanie równań Kirchhoffa dla oczka I i III. Wartości sił elektromotorycznych, oporności wewnętrznych i oporów obciążenia pozostają bez zmian.

Aby z grubsza wyczerpać zagadnienia związane z prądem stałym, trzeba jeszcze omówić warunki pracy źródła prądu.