Elektrotechnika - to nie takie trudne! (część 1)

Prawdę powiedziawszy długo zastanawiałem się, czy w artykule nie umieścić skróconego wykładu zasad rachunku różniczkowego i całkowego. Doszedłem jednak do wniosku, że nie można być nadopiekuńczym. Kto naprawdę chce się uczyć elektrotechniki, znajdzie sposób na opanowanie niezbędnego aparatu matematycznego. Nie wiem też, jak artykuł zostanie przyjęty przez Czytelników. Jeżeli taka będzie ich wola, to w kolejnej części artykułu zamieszczę "łopatologiczny" wykład poświęcony tym zagadnieniom. Ci z Was, którzy uczęszczają do szkoły o profilu elektrycznym lub ją ukończyli, dobrze wiedzą, że „elektry" nie można uczyć się fragmentami. Potrzebna jest całość wiedzy.

Wyjaśniam, że artykuł NIE jest poradnikiem ani zbiorem gotowych schematów różnych elektrotechnicznych gadżetów. Jest raczej przewodnikiem, który ma ułatwić samodzielną naukę. Zakładam również pewien elementarny zasób wiedzy Czytelnika, wyniesiony z lekcji fizyki. Kto nie wie jak działa generator, akumulator lub bateria sucha (ogniwo) raczej nie powinien zabierać się za lekturę przewodnika. Natomiast dla podsumowania pewnych etapów nauki będę zamieszczał zadania, które próbujcie rozwiązać. Ta metoda pozwoli każdemu z Was zorientować się, czy i jak opanował ten fragment wiedzy.

NIE czytaj rozwiązań, zanim nie spróbujesz zrobić tego samodzielnie. Chcesz oszukiwać samego siebie? Po co?! Masz zamiar czegoś się NAUCZYĆ, czy chcesz tylko przeczytać artykuł? Musisz sam sobie odpowiedzieć na te pytania. Jasne, że najpierw można przeczytać, ale kto chce się nauczyć - wróci do początku i zacznie próbować zrozumieć. No i proszę bez złudzeń - przeczytanie artykułu i nawet rozwiązanie wszystkich zadań (brawo, brawo!) jeszcze nie uczyni nikogo elektrotechnikiem. Wiedzę trzeba pogłębiać poprzez studiowanie literatury i wykonywanie zadań praktycznych. Stopniowo, od najprostszych i niby banalnych, do tych najtrudniejszych. Czy uda mi się zachęcić chociaż kilku Czytelników do nauki elektrotechniki? Nie wiem. Ale spróbuję!

Elektrotechnika a budowa materii

Ciała otaczającego nas świata są połączeniami niewielkiej w sumie liczby tzw. pierwiastków (tlen, węgiel, żelazo itd.). Każdy pierwiastek zbudowany jest z atomów - właściwych tylko jemu cząstek - które nie dzielą się przy reakcjach chemicznych. To nie oznacza, że są one niepodzielne, lecz to jest zupełnie inne zagadnienie. Atomy łącząc się w określonych proporcjach tworzą molekuły ciała, czyli jego najdrobniejsze cząsteczki, zachowujące jego własności. Atomy są zbudowane z cząstek elementarnych, które można podzielić na trzy grupy. Cząstki należące do pierwszej i drugiej grupy podlegają działaniu sił grawitacji oraz siłom wzajemnego odpychania od cząstek tej samej grupy i wzajemnego przyciągania do cząstek drugiej grupy. Te siły nazywają się siłami elektrycznymi, a cząstki podlegające ich działaniu są tzw. cząstkami naładowanymi, czyli mającymi pewien ładunek elektryczny. Do trzeciej grupy należą cząstki podlegające jedynie siłom grawitacji. Są to cząstki elektrycznie obojętne, np. neutrony.

Z cząstek naładowanych najmniejsze ładunki mają elektrony i protony. Umownie traktuje się ładunek przenoszony przez elektron jako ujemny, a przez proton jako dodatni. Natomiast ładunki te pod względem wartości bezwzględnej są sobie równe. Neutralny pod względem ładunku elektrycznego atom może zawierać tylko tyle naładowanych dodatnio cząstek - protonów - ile zawiera elektronów. Natomiast - teoretycznie - liczba cząstek elektrycznie obojętnych (neutronów) może być dowolna, ale w praktyce tak nie jest, bo pierwiastki mają swoją charakterystyczną dla nich budowę, a więc określoną liczbę neutronów w jądrze atomu. Cząstki skupione w naładowanym dodatnio jądrze atomu mają o wiele większą masę niż elektrony i to ich ilość decyduje o masie atomu, a ta z kolei o jego właściwościach. Aby uzmysłowić różnicę podam, że masa elektronu jest około 2000 razy mniejsza niż całego atomu wodoru! A ten, jak wiadomo, składa się z jednego elektronu i jednego protonu. Jak zbudowany jest atom? Wystarczy przyjąć, że jest to pewnego rodzaju miniaturowy układ planetarny. Dodatnio naładowane jądro atomu składające się z protonów i neutronów jest w środku, a wokół niego krążą ujemnie naładowane elektrony.

Wszystko, o czym będzie mowa w przewodniku, jest nierozerwalnie związane z budową materii. I tutaj pojawia się pewien problem - właściwie to nie wiadomo, jak i z czego materia jest zbudowana! Teorii było (i nadal jest) co niemiara. Korpuskularna, falowa, kwantowa, model standardowy, superstruny. Właściwie jest to obszar działania fizyków, którzy starają się stworzyć jednolitą teorię, która spójnie opisywałaby wszystkie siły i zjawiska występujące w znanej nam rzeczywistości. Elektrotechnika jest domeną występowania i oddziaływania ze sobą dwóch podstawowych zjawisk elektrycznych: pola i prądu. Do ich definicji dojdziemy, ale na razie chcę wyjaśnić jedną ważną rzecz. Otóż istnieje powszechnie uznawana zasada, zwana brzytwą Ockhama, która głosi, że do wytłumaczenia jakiegokolwiek zjawiska należy używać jak najmniejszej ilości bytów. Co to takiego ten byt? To niezbędny składnik teorii opisujący dane zjawisko. Okazało się, że do celów praktycznych, umożliwiających konstruowanie i eksploatację urządzeń elektrycznych, w zupełności wystarcza przedstawiona powyżej w dużym skrócie teoria korpuskularna, chociaż wiadomo, że jest ona dość daleka od rzeczywistej budowy materii. Jednym z podstawowych elementów występujących w nauce o elektryczności jest elektron, przedstawiany w tej teorii jako punkt o pewnej masie i zachowujący się charakterystycznie dla siebie w polu elektrycznym lub magnetycznym. I to w zupełności wystarcza, chociaż można też (teoria kwantowa) elektron uważać za gęstość prawdopodobieństwa jego występowania w przestrzeni, ponieważ zgodnie z zasadą nieoznaczoności Heisenberga nie można jednocześnie precyzyjnie określić obu opisujących jego ruch elementów, tzn. położenia i pędu (tu kłania się fizyka: pęd to iloczyn masy i prędkości ciała). Występujące praktycznie przejawy i skutki działania prądu elektrycznego nie ulegną ani trochę zmianie, jeżeli zaczniemy rozbierać na części elementy składowe atomu, czyli neutrony, protony i elektrony. Natomiast doskonale skomplikujemy sobie zrozumienie i tak niełatwych do opisania i przyswojenia zjawisk. Uruchamiamy więc brzytwę Ockhama i upraszczamy teorię, pozostawiając fotony, kwarki, leptony, bariony, neutrina, struny i całą resztę atomowych zabawek fizykom. Zanim jednak przejdziemy do podstawowych pojęć, niezbędne jest omówienie sprawy wielkości elektrycznych i ich jednostek.

Wielkość i jej wartość

Nauki ścisłe mają to do siebie, że operują dokładnie zdefiniowanymi pojęciami. Hipotezę lub teorię uważa się za prawdziwą, jeżeli można ją potwierdzić doświadczalnie. Wymagane jest również spełnienie kryterium powtarzalności, tzn. identyczne wyniki powinien otrzymać badacz np. w Warszawie, Atenach, San Francisco i Melbourne. Aby to było możliwe, ludzie umówili się co do sposobu przedstawiania wyników pomiarów. Pomiar polega na porównaniu mierzonej wielkości ze ściśle określoną wielkością porównawczą, przyjętą za jednostkę miary. To co mierzymy jest wielkością fizyczną, natomiast liczbowa wartość wielkości fizycznej wskazuje, ile razy mierzona wielkość jest większa (lub mniejsza) od jednostki użytej miary.

Wielkości fizyczne powiązane są ze sobą określonymi związkami, które znajdują swoje odzwierciedlenie również w ich jednostkach miary. Niektóre jednostki da się wybrać niezależnie od innych i nazywa się je jednostkami podstawowymi. Odtwarzane są one w postaci bardzo dokładnych wzorców. Pozostałe jednostki nazywa się pochodnymi, a ich wymiar ustala się przez podstawienie jednostek podstawowych do równań przedstawiających matematyczny zapis praw fizyki. Całość podstawowych i pochodnych jednostek miar wielkości fizycznych nazywa się układem jednostek. Historycznie najstarszy jest układ CGS (jednostki podstawowe to centymetr, gram i sekunda). Obecnie powszechnie stosowany jest międzynarodowy układ jednostek SI.

Jego jednostki podstawowe to: Metr (m), Kilogram (kg), Sekunda (s), Amper (A), Kelvin (K), Kandela (cd). Definicji Metra, Kilograma, Sekundy i Kelvina nie będę podawał - są (mam nadzieję) wszystkim dobrze znane. Natomiast podam definicję Ampera i Kandeli, ponieważ są to jednostki związane z elektrycznością. Bez tego reszta tłumaczenia zawisłaby w próżni informacyjnej. Wprawdzie definicja ampera zawiera nieznane jeszcze pojęcie prądu, ale uznałem, że przed zagłębieniem się w szczegóły trzeba uporządkować kwestię jednostek. Czym jest prąd elektryczny wytłumaczę w dalszej części przewodnika, po wyjaśnieniu kilku innych pojęć.

Amper (A) określa natężenie nie zmieniającego się prądu, który przepływając przez dwa równoległe, prostoliniowe i nieskończenie długie przewody o przekroju kołowym, umieszczone w próżni w odległości 1 m od siebie, wywołałby powstanie między tymi przewodami siły równej 2*10^-7 N (niutona - kłania się fizyka), na każdy metr długości przewodu.

Kandela (cd) jest jednostką światłości (ale nie wiekuistej!); jest to światłość, z jaką świeci w określonym kierunku źródło emitujące promieniowanie monochromatyczne o częstotliwości 540*10¹² Hz i którego natężenie w tym kierunku wynosi 1/683 W/sr.

Dodatkowo do układu SI włączono dwie jednostki uzupełniające: Radian (rad) i Steradian (sr). Z tych jednostek wywodzi się 27 jednostek pochodnych, wchodzących w skład systemu SI. W tabeli poniżej zestawione są pochodne jednostki elektryczne i magnetyczne układu SI.

Ponieważ wartość jednostek podstawowych lub pochodnych czasami okazuje się niezbyt wygodna do przeprowadzenia obliczeń, wprowadzono tzw. jednostki wielokrotne i podwielokrotne. Polega to na mnożeniu jednostek podstawowych i pochodnych przez liczbę 10ⁿ, gdzie n jest całkowite i dodatnie dla wielokrotnych, i całkowite i ujemne dla podwielokrotnych. Właśnie stąd biorą się znane dobrze przedrostki, jak: giga, mega, kilo, mili, nano itd. Po tym nieco męczącym, ale moim zdaniem niezbędnym wprowadzeniu możemy zająć się wspomnianym już polem.

Pole elektryczne

Zanim je zdefiniujemy, nie obejdzie się jednak bez wytłumaczenia kilku innych, istotnych pojęć. Zajmiemy się ładunkiem elektrycznym. Jak już wspominałem, najmniejszym nosicielem ładunku elektrycznego jest elektron. Ponieważ przyjęto, że jest to ładunek ujemny, to najprostsza i intuicyjna definicja ładunku danego ciała (cząstki) sprowadza się do nadmiaru lub niedomiaru zawartych w nim elektronów. Nadmiar elektronów powoduje, że ciało jest naładowane ujemnie, a ich niedomiar - dodatnio. O wartości ładunków można wnioskować na podstawie siły ich wzajemnego oddziaływania na siebie. Siłę tą można obliczyć z prawa Coulomba:

gdzie:

q₁ i q₂ - wartość ładunków

ε - tzw. bezwzględna przenikalność elektryczna materiału, w którym umieszczono ładunki

r - odległość pomiędzy ładunkami

- tzw. współczynnik racjonalizacji, będący efektem ustaleń układu SI

Dokładniejszego wyjaśnienia wymaga przenikalność ε. W próżni (praktycznie w powietrzu też) bezwzględna przenikalność elektryczna wynosi:

natomiast wyrażenie:

nazywa się względną przenikalnością elektryczną. Wskazuje ono, ile razy siła wzajemnego oddziaływania między ładunkami w danym ośrodku jest mniejsza niż w próżni.

Jak widać, siła obliczona z prawa Coulomba jest wprost proporcjonalna do wartości ładunków oraz odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości pomiędzy nimi. Należy jedynie pamiętać, że ciała z jednakowymi ładunkami odpychają się, a z przeciwnymi - przyciągają.

Wzór nie tłumaczy jednak dlaczego tak się dzieje. Intuicja podpowiada, że istotą każdego ładunku elektrycznego jest otaczające go pole elektryczne. Jest ono niewidoczne, ale fakt jego istnienia można potwierdzić doświadczalnie i to ono wywołuje oddziaływanie na siebie ładunków. Każde pole elektryczne charakteryzuje się wektorem jego natężenia. Natężeniem pola elektrycznego E nazywa się stosunek siły, z którą pole działa na umieszczony w nim punktowy ładunek próbny, do wartości tego ładunku. Innymi słowy: na dowolny ładunek punktowy q, umieszczony w polu elektrycznym o natężeniu E, pole oddziałuje z siłą:

f = q*E

Siła ta jest niezależna od tego, od jakich ładunków pochodzi pole. Przypominam, że jednostką natężenia pola elektrycznego jest wolt na metr (V/m).

W celu stworzenia geometrycznej interpretacji pola elektrycznego wprowadzone zostało pojęcie linii natężenia pola elektrycznego (linii sił). Są to linie, w których każdym punkcie wektor natężenia pola E jest skierowany stycznie do linii. Wyjaśnia to rysunek poniżej.

Potencjał elektryczny, napięcie

Zdefiniowanie pola elektrycznego było niezbędne dla wytłumaczenia kolejnego pojęcia. Chodzi o potencjał elektryczny pola. Jego wartość w danym punkcie pola o natężeniu E jest określona pracą, jaką wykonują siły przenosząc jednostkowy ładunek dodatni z danego punktu pola do nieskończenie oddalonego punktu (poza granice pola). Jeżeli pole jest wytworzone przez punktowy ładunek dodatni q, w środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej ε, to w odległości r od ładunku pole ma potencjał:

Wynik jest rezultatem operacji matematycznej zwanej całkowaniem (całka oznaczona, od r do ∞), co pokazuje zapis. Proszę mi uwierzyć, że wyjaśnianie podstaw elektrotechniki bez używania rachunku różniczkowego i całkowego jest trudne i niezbyt precyzyjne. Z drugiej strony nie chcę stwarzać sztucznych barier dla Czytelników, którzy nie mają pojęcia, czym jest całka i pochodna funkcji. Dlatego też, aby pogodzić ogień z wodą, będę używał elementów wyższej matematyki tam, gdzie jest to uzasadnione. Ułatwi to lekturę Czytelnikom, dla których pojęcia te są zrozumiałe, natomiast dla pozostałych pozostanie jedynie przyjmowanie podanego wyniku „na wiarę", ale nie zmniejszy to możliwości zrozumienia całości. Nie widzę innego sensownego wyjścia. Ale też na początku zaznaczałem, że nie będzie lekko! Schody właśnie się zaczęły!

Natomiast jeżeli pole wytworzone jest przez ładunek ujemny, to oddalenie dodatniego ładunku jednostkowego poza granice pola następuje nie za pomocą sił pola, ale za pomocą sił zewnętrznych, działających przeciw siłom pola.

Przenosząc ładunek dodatni q z jednego punktu pola o natężeniu E do drugiego (po drodze s), pole wykonuje pracę L, równą różnicy potencjałów tych punktów:

W stacjonarnym polu elektrycznym praca potrzebna do przemieszczenia ładunku nie zależy od drogi, po której przemieszcza się ładunek, lecz jedynie od potencjału początkowego j₁ i końcowego j₂. Takie pole nazywa się bezwirowym lub potencjalnym. Różnicę potencjałów pomiędzy dwoma punktami pola elektrycznego nazywa się napięciem. Określa je wzór:

Jeżeli różnica napięć pomiędzy dowolnymi punktami pola elektrycznego jest równa zero (są to tzw. punkty ekwipotencjalne), to można je połączyć ze sobą przewodnikiem bez żadnych konsekwencji.

Przypominam, że jednostką napięcia jest wolt (V).

Kondensator

Poznane pojęcia pozwolą zrozumieć czym jest i jak działa jeden z podstawowych elementów elektrotechniki, a zwłaszcza elektroniki - kondensator. Układ dwóch przewodników (okładzin) rozdzielonych cienką warstwą dielektryka (czyli materiału nie przewodzącego prądu) nazywa się kondensatorem.

Przyłożenie napięcia do okładzin kondensatora powoduje zgromadzenie się na nich ładunku q, którego wartość zależy od pola powierzchni okładzin oraz odległości pomiędzy nimi. Im większy ładunek q zgromadzi się w kondensatorze przy danym napięciu U, tym większa jest tzw. pojemność kondensatora C:

Pojemność kondensatora jest wprost proporcjonalna do powierzchni S okładzin kondensatora i przenikalności elektrycznej ε dielektryka, oraz odwrotnie proporcjonalna do odległości pomiędzy okładzinami.

Cechą charakterystyczną kondensatora jest prawie całkowite skupienie pola elektrycznego pomiędzy jego okładzinami. Dzięki temu zewnętrzne ciała i pola nie mają na niego wpływu. Umieszczenie dielektryka w polu elektrycznym powoduje, że siły Coulomba:

1. powodują przesunięcie ładunków w skutek deformacji symetrycznych molekuł dielektryka
2. obracają molekuły niesymetryczne

Wypadkowe pole E wewnątrz dielektryka określa się zewnętrznym polem E₀ (pole przy braku dielektryka) i średnią wartością E_śr pól mikroskopowych, wytworzonych przez polaryzacyjne ładunki dielektryka. W kondensatorze pole polaryzacyjne jest przeciwne co do kierunku do pola wypadkowego i dla większości dielektryków jest proporcjonalne do jego wartości (χ - podatność elektryczna dielektryka)

Ponieważ E = E₀ + E_śr to

Człon (1 + χ) wskazuje, ile razy natężenie pola bez dielektryka jest większe niż w dielektryka, tzn. przedstawia sobą przenikalność elektryczną względną ε_r, o której już była mowa przy prawie Coulomba.

W układzie jednostek SI w celu scharakteryzowania pola bez dielektryka używa się pojęcia wektora indukcji elektrycznej D, który nie zależy od elektrycznych właściwości materiału dielektrycznego, ponieważ charakteryzuje pole przy braku dielektryka. Jest on określony wyłącznie przez układ ładunków wytwarzających pole. Strumień tego wektora (w uproszczeniu - liczba linii sił) przez zamkniętą powierzchnię S równy jest sumarycznemu ładunkowi zawartemu wewnątrz tej powierzchni. I znowu, niestety, najlepiej tłumaczy to całkowanie (całka nieoznaczona):

oczywiście zachodzi również równość:

D = ε*E = ε₀* ε_r*E

Polaryzacja dielektryka jest przyczyną zwiększenia pojemności kondensatora po wprowadzeniu dielektryka pomiędzy okładziny kondensatora. Dzieje się tak dlatego, że jego wprowadzenie powoduje spadek natężenia pola, co z kolei wywołuje spadek napięcia pomiędzy okładzinami. Ponieważ C = q/U, pojemność wzrasta proporcjonalnie do wartości ε.

Kondensatory można łączyć ze sobą celem otrzymania określonej, potrzebnej pojemności. Zasadniczo istnieją dwa sposoby łączenia kondensatorów: szeregowe i równoległe. Tzw. łączenie mieszane jest kombinacją tych dwóch sposobów. Rysunki poniżej pokazują łączenie kondensatorów.

Przy połączeniu równoległym wypadkowa pojemność zestawu kondensatorów równa się sumie ich pojemności:

C_w = C₁ +C₂ +...+ C_n

Przy łączeniu szeregowym wypadkowa pojemność zestawu kondensatorów wynosi:

1/C_w = 1/C₁ + 1/C₂ +...+ 1/C_n

Jednostką pojemności jest farad (F)

Zadanie nr 1: Oblicz wypadkową pojemność przedstawionego poniżej zestawu kondensatorów.

Zadanie nr 2: Oblicz, jakie napięcie zostało przyłożone do zestawu kondensatorów, jeżeli zgromadził się na nim łączny ładunek 0,1 mC.

Poznane pojęcia i wielkości elektryczne pozwalają wreszcie wyjaśnić, czym jest prąd elektryczny i jakie podstawowe prawa opisują jego zachowanie.

Stały prąd elektryczny

Prąd elektryczny w przewodnikach elektryczności jest zjawiskiem wywołanym obecnością wolnych ładunków elektrycznych (w metalach są to elektrony, w roztworach - jony), które pod wpływem działania zewnętrznego pola elektrycznego łatwo przechodzą do uporządkowanego ruchu postępowego. Ruch ten charakteryzuje się wektorem gęstości j, którego wartość jest równa ładunkowi przepływającemu w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię przekroju poprzecznego przewodnika, prostopadłą do kierunku prądu. Jako dodatni kierunek wektora gęstości j przyjęto kierunek ruchu ładunków dodatnich. Całkowity prąd Iprzepływający przez powierzchnię S jest równy sumie prądów przepływających przez powierzchnie elementarne tworzące powierzchnię S, tzn. jest równy całkowitemu ładunkowi przepływającemu przez S w jednostce czasu (znów ta całka!).

Dla znakomitej większości przewodników, przy stosunkowo słabych polach elektrycznych, zachodzi proporcjonalność pomiędzy gęstością prądu a natężeniem pola. Proporcjonalność ta zwana jest prawem Ohma i wyraża się wzorem:

gdzie σ jest tzw. konduktywnością materiału przewodnika, E - natężeniem pola

W przypadku przewodnika prostoliniowego o stałym przekroju zachodzą poniższe zależności:

gdzie znaczenie symboli j, I, L, S opisane jest powyżej, natomiast U jest zdefiniowanym wcześniej napięciem (różnicą potencjałów), przyłożonym do końców przewodnika. Dlatego też prawo Ohma można przedstawić nieco inaczej, w bardziej znanej postaci:

Wielkość

nazywana jest rezystywnością (oporem właściwym) przewodnika, a wielkość

nazywana jest rezystancją przewodnika. Natomiast wielkość będąca odwrotnością rezystancji

nazywana jest konduktancją przewodnika. Stosowanie w praktyce prawa Ohma jest o wiele prostsze niż powyższe wywody, jednak trzeba pamiętać, że konduktywność i konduktancja to nie to samo, podobnie jak rezystancja i rezystywność. Ale między wieloma innymi, właśnie takie uroki roztacza elektrotechnika przed swoimi adeptami :-).

Moc prądu elektrycznego

Podczas przepływu prądu elektrycznego w przewodniku wydziela się ciepło (skąd my to znamy?), które powstaje na skutek zderzeń poruszających się elektronów z jonami jego siatki krystalicznej. W wyniku tych zderzeń część energii kinetycznej elektronów przechodzi w energię drgań cieplnych jonów siatki. Ponieważ ładunek q przepływając przez rezystor R pod działaniem napięcia U wykonuje pracę dq*U w czasie dt (teraz męczę Czytelnika różniczkami, a nie całkami), to moc prądu elektrycznego wydzielona w rezystorze R (prawo Joula - Lenza) jest równa:

Oczywiście jednostką mocy prądu elektrycznego jest wat (W). Teraz przyszedł czas na wyjaśnienie jednego z podstawowych pojęć w elektrotechnice: obwodu elektrycznego.

Obwód elektryczny

Najogólniej biorąc obwód elektryczny prądu stałego składa się ze źródeł prądu i przewodników. Najprostszy obwód prądu przedstawiony jest na rysunku poniżej.

Jest to tzw. oczko, składające się ze źródła prądu (generator, akumulator, bateria sucha, termoogniwo itd.), które charakteryzuje się tzw. siłą elektromotoryczną SEM i rezystancją wewnętrzną R_w. Przewodniki przyłączone do źródła prądu charakteryzują się rezystancją R. Nie czekając na zarzuty wyjaśniam, że darowałem sobie opis budowy i zasad działania źródeł prądu stałego, ponieważ zakładam, że zostało to w dostatecznym zakresie wyjaśnione na lekcjach fizyki. Pisałem o tym we wstępie. Zwracam też uwagę na bardzo często popełniany błąd - ponieważ napięcie jest różnicą potencjałów, nie można go zaznaczać jako linię zakończoną dwoma strzałkami. Powinna być tylko jedna, wskazująca punkt o wyższym potencjale.

Praca wykonana przy przenoszeniu jednostkowego ładunku elektrycznego wzdłuż zamkniętego obwodu jest równa zeru. Uwaga: litera E w poniższych wzorach oznacza siłę elektromotoryczną źródła prądu, a nie natężenie pola!

- E + U_R + U = - E + I*R_W + I*R = 0

Z tej zależności wynika prawo Ohma dla zamkniętego obwodu elektrycznego:

Natomiast wyrażenie U = E - I*R_W wskazuje, że siła elektromotoryczna źródła prądu jest równa napięciu na jego zaciskach, w sytuacji gdy obwód jest otwarty (brak przepływu prądu w obwodzie).

W tym momencie musicie zapamiętać najważniejszą rzecz dotyczącą obwodów elektrycznych: sposób zaznaczania spadków napięcia na rezystancjach obwodu. Zasada jest bardzo prosta: napięcia zaznaczamy wektorem (strzałką), której grot jest skierowany przeciwnie do kierunku przepływu prądu, wskazując punkt o wyższym napięciu. Wbrew faktycznemu kierunkowi przepływającego prądu (strumień ruchliwych elektronów) w obwodzie prądu stałego przyjęto, że prąd płynie od bieguna + do bieguna -. Prawdę powiedziawszy nie ma to żadnego znaczenia, jak chodzi o wszelkie skutki jego przepływu, natomiast znakomicie ułatwi posługiwanie się równaniami Kirchhoffa.

W praktyce elektrotechnicy posługują się tzw. schematami obwodów elektrycznych. Aby nieco przybliżyć do rzeczywistości bardzo suchą teorię przedstawiam schemat obwodu, z którym zetknął się chyba każdy.

To głupi i banalny przykład? Jak dla kogo! Wszak od czegoś trzeba zacząć! Wyłącznik W zamyka lub przerywa obwód prądu i żaróweczka Ż w latarce świeci się (lub nie) dzięki jej połączeniu przewodami P ze źródłem prądu, czyli baterią B. Proste? Mam nadzieję, że tak. Dodam, że symbole elementów są znormalizowane i zasadniczo takie same we wszystkich państwach. Ale... trzeba pamiętać o tzw. dopasowaniu napięciowym źródła prądu i obciążenia. O co chodzi? Jeżeli nasza bateria ma napięcie 3 V, to żarówka też musi być przystosowana do pracy przy napięciu 3 V. Mówimy wtedy, że nominalne napięcie jej pracy wynosi 3 V. Jeżeli nie dopełnimy tego warunku, to żarówka albo będzie świeciła zbyt słabo (za duże napięcie nominalne), albo przepali się (za małe napięcie nominalne). Ta zasada dotyczy wszystkich odbiorników prądu elektrycznego. Jeżeli, z różnych powodów, w skład obwodu wchodzą jedynie oporniki, to czynnikiem decydującym o dopasowaniu nie będzie wartość napięcia, ale moc, którą bez obawy jego zniszczenia, można wydzielić w oporniku. Będzie to tzw. moc nominalna opornika. Do jej określenia używa się prawa Ohma. Jeżeli opornik będzie pracował np. pod napięciem 12 V, a jego wartość wynosi 100 Ω, to jego moc nominalna powinna być większa lub równa P = U²/R = 1, 44 W. W praktyce dobiera się (z pewnym zapasem), opornik o mocy 2 W.

Równania Kirchhoffa

Poznaliśmy już najprostszy obwód elektryczny - oczko.

Obwód rozgałęziony składa się z kilku zamkniętych oczek, które zaznaczone są jako I, II i III. Każdy punkt obwodu, w którym schodzą się co najmniej trzy jego gałęzie nazywa się węzłem. Obliczenie wartości prądów płynących w gałęziach, przy znanych rezystancjach tych gałęzi i siłach elektromotorycznych źródeł prądu, może być dokonane przy wykorzystaniu równań Kirchhoffa. Pierwsze równanie Kirchhoffa odnosi się do węzłów obwodu elektrycznego. Prądy płynące do węzła będziemy traktować jako dodatnie, a prądy skierowane od węzła jako ujemne. Ponieważ ładunek elektryczny nie ma możliwości zgromadzenia się w węźle, to suma algebraiczna prądów w węźle jest równa zeru. Opisuje to równanie:

Drugie równanie Kirchhoffa odnosi się do zamkniętych oczek, które można wydzielić w obwodzie rozgałęzionym. Stosując do tych oczek prawo Ohma łatwo da się zauważyć, że w dowolnym oczku suma sił elektromotorycznych jest równa iloczynowi prądów przez rezystancje odpowiednich elementów oczka. Innymi słowy: jest równa sumie spadków napięć na rezystancjach oczka, łącznie z rezystancjami wewnętrznymi źródeł prądu. Opisuje to równanie:

W podanym równaniu prądy i siły elektromotoryczne traktuje się jako dodatnie, jeżeli ich kierunek jest zgodny z wybranym kierunkiem poruszania się w oczku i ujemne, jeżeli są przeciwne. Zostanie to jeszcze dokładnie wytłumaczone.

Przy zapisywaniu równań Kirchhoffa należy uważać, aby liczba równań była równa liczbie niewiadomych wielkości i aby jedne z równań nie wynikały z drugich. Dlatego oczka wybiera się tak, aby wchodziły do nich wszystkie gałęzie układu, ale do każdego z oczek powinna wchodzić jak najmniejsza liczba gałęzi. W bardziej skomplikowanych przypadkach może się okazać, że przyjęliśmy błędny kierunek przepływu prądu w którejś gałęzi. Nic nie szkodzi. Otrzymamy wtedy wartość ujemną, co pozwoli na bezproblemową korektę. Natomiast istotne jest, że wartość bezwzględna nie ulegnie zmianie. Zanim wspólnie rozwiążemy przykład na praktyczne zastosowanie praw Kirchhoffa niezbędne jest wyjaśnienie dotyczące sposobów łączenia rezystancji. Podobnie jak kondensatory, rezystancje (zazwyczaj zwane oporami lub opornikami) można łączyć na dwa podstawowe sposoby: równolegle i szeregowo. Łączenie mieszane jest kombinacją tych dwóch sposobów. Wzory na wypadkową wartość oporności właściwie są identyczne jak dla kondensatorów, z tą różnicą że przy połączeniu szeregowym oporników wartość wypadkowa jest ich sumą:

Natomiast przy połączeniu równoległym oporników wartość wypadkowa wynosi:

Zadanie 3: Oblicz wypadkową oporność przedstawionego poniżej obwodu oraz prąd pobierany z akumulatora, którego oporność wewnętrzną można pominąć.

Teraz rozwiążemy metodą „łopatologiczną" przykład oparty na wcześniej podanym obwodzie rozgałęzionym. Należy obliczyć prądy płynące w gałęziach obwodu, wiedząc że:

E₁= 12 V i r_w1=0,1 Ω, E₂= 9 V i r_w2=0,2 Ω oraz R₁ = 10 Ω i R₂ = 20 Ω

Przy rozwiązywaniu tego typu zadań należy stosować dwie „żelazne" zasady:

1. Podczas sumowania w oczku napięć na źródłach prądu wartość tego napięcia bierzemy jako dodatnią, jeśli znak biegunów zmienia się z minusa (-) na plus (+). W przeciwnym wypadku wartość napięcia na ogniwie traktujemy jako ujemną.
2. Podczas sumowania napięć na opornikach, wartość napięcia na oporze bierzemy jako dodatnią, jeśli poruszamy się przeciwnie do kierunku prądu. W przeciwnym wypadku (gdy opornik przebywamy zgodnie ze zwrotem prądu), spadek napięcia liczymy jako ujemny. Reguła ta stosuje się także do spadków napięć na oporach wewnętrznych ogniw.

Rozwiązanie:

W obwodzie wyodrębniamy 2 oczka: górne - zawierające E₁, R₂ i E₂ oraz dolne - zawierające E_2, R₂ i R₁. Przyjmujemy kierunek poruszania się w oczkach zgodny z ruchem wskazówek zegara. Zgodnie z pkt. 1 i 2 jw., dla górnego oczka zapisujemy:

E₁ - I₁ ∙ r_w1 - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = 0

a dla dolnego:

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - I₃ ∙ R₁ = 0

Zapisujemy też równania dla węzłów A i B:

A) I₃ + I₂ - I₁ = 0

B) I₁ - I₂ - I₃ = 0

Jak widać równania dla obu węzłów są identyczne, więc użyjemy tylko jednego z nich, przekształcając je do postaci I₃ = I₁ - I₂. Po podstawieniu tej zależności do równania dla dolnego oczka otrzymujemy 2 równania z 2 niewiadomymi:

E₁ - I₁ ∙ r_w1 - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = 0

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - (I₁ - I₂) ∙ R₁ = 0

Podstawiamy:

E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2 = I₁ ∙ r_w1 i dalej I₁ = (E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2)/ r_w1 i dalej:

E₂ + I₂ ∙ r _w2 + I₂ ∙ R₂ - [(E₁ - I₂ ∙ R₂ - E₂ - I₂ ∙ r_w2)/ r_w1 - I₂]*R₁ = 0 i po przekształceniach oraz wstawieniu danych otrzymujemy: I₁=~ 1,3286 A, I₂=~0,1419 A, I₃=~1,1867 A

Zadanie 4: Proszę sprawdzić poprawność powyższych obliczeń, przez napisanie i rozwiązanie równań Kirchhoffa dla oczka I i III. Wartości sił elektromotorycznych, oporności wewnętrznych i oporów obciążenia pozostają bez zmian.

Aby z grubsza wyczerpać zagadnienia związane z prądem stałym, trzeba jeszcze omówić warunki pracy źródła prądu.

Warunki pracy źródła prądu

Różne urządzenia elektryczne przyłączane do źródła prądu, są dla niego tzw. obciążeniem, które jest równoważne pewnemu opornikowi R. Sposób pracy, przy którym wartość obciążenia R źródła prądu jest o wiele większa od jego rezystancji wewnętrznej (R>>R_w) nazywa się biegiem jałowym. W biegu jałowym spadek napięcia na rezystancji wewnętrznej źródła prądu jest nieznaczny i napięcie na obciążeniu jest stałe (czyli niewiele zależy od prądu i rezystancji obciążenia). Dlatego też źródło prądu w biegu jałowym nazywa się źródłem napięciowym.

Warunki pracy, w których wartość rezystancji R obciążającej źródło jest o wiele mniejsza od jego rezystancji wewnętrznej R_w.

W stosunku do napięcia na obciążeniu otrzymujemy wzór:

Jeżeli rezystancja obciążenia R jest równa rezystancji wewnętrznej źródła (R=R_w), to takie obciążenie nazywa się obciążeniem dopasowanym do źródła. W takich warunkach pracy źródło prądu oddaje do obciążenia maksymalnie możliwą moc,

równą połowie mocy źródła. Druga połowa mocy źródła wydziela się na jego rezystancji wewnętrznej.

Myślę, że taka ilość materiału do opanowania chwilowo wystarczy! Zachęcam do korzystania z szeroko dostępnej literatury i samodzielnego rozwiązywania zadań. To jedyny sposób na zrozumienie tej niełatwej w odbiorze wiedzy. Niestety, ale humaniści stoją przed bardzo trudnym zadaniem, chociaż i dla uczniów szkół technicznych o profilu nie elektrycznym, elektrotechnika często jest czarną magią z domieszką nauczycielskiego sadyzmu. Cóż, to trzeba lubić i chcieć zrozumieć. Główny problem polega na tym, że... prądu nie widać! Widać natomiast skutki - czasami zakrawające na czary, czasami fatalne - jego działania.

W kolejnej części przewodnika po elektrotechnice zajmiemy się polem magnetycznym, indukcją elektromagnetyczną i prądem zmiennym.

Rozwiązania zadań

Zadanie 1

Stosując wzory na pojemność wypadkową, stopniowo redukujemy ilość kondensatorów w zestawie:

1/C_w1= 1/2 + 1/2 = 1 a C_w1 = 1 µF, potem : C_w2 = 1 + 4 = 5 µF i wreszcie:

1/C_w3 = 1/2 + 1/5 + 1/2 = 6/5 a C_w3 = 5/6 µF

Zadanie 2

Po przekształceniu wzoru C = q/U możemy obliczyć, że U = q/C

Wstawiamy wartości:

U = 0,1*10^-3 C / 5/6*10^-6 F = 6/50*10³ V = 120 V

Zadanie 3

Stosując wzory na oporność wypadkową, stopniowo redukujemy ilość oporników w obwodzie:

1/R_w1 = 1/100 + 1/100 = 1/50 à R_w1 = 50 Ω, potem: R_w2 = 100 + 50 = 150 Ω i wreszcie 1/R_w3 = 1/100 + 1/150 = 3/300 + 2/300 = 5/300 à R_w3 = 300/5 = 60 Ω

Ponieważ pomijamy oporność wewnętrzną źródła prądu, to I = E/R_w3 = 12/60 = 0,2 A

Zadanie4

Drugie równanie Kirchoffa dla oczka III: E₁ - I₁*r_w1 - I₃*R₁ = 0

Drugie równanie Kirchoffa dla oczka I: E₁ - I₁*r_w1 - I₂*R₂ - I₂*r_w2 - E₂ = 0

Pierwsze równanie Kirchhoffa dla węzła B: I₁ - I₂ - I₃ = 0

Po podstawieniach i rozwiązaniu układu równań, powinieneś otrzymać:

I₁ = ~ 1,3286 A, I₂ = ~ 0, 1419 A, I₃ = ~ 1,1867 A

Czyli identyczne jak w przykładzie, co jest chyba oczywiste. Ale chodziło o ułożenie równania dla oczka III i nabranie wprawy w posługiwaniu się równaniami Kirchhoffa